观察下面函数图象思考:
虽然函数f(x) 满足了f(-1)f(1)<0,但它在 区间(-1,1)上却没有零点,为什么?
零点存在性的判定:
一般的,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是一条不间断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则 函数y=f(x)在区间(a,b) 上有零点.(即零点 c∈(a,b)使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 根.) 注意两个条件: 函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是不间断的 f(a)· f(b)<0
ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
y
y
y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
x1
0
x2
x
0 x1
x
0
x
y=ax2+bx+c (a>0)的零点
没有零点
二次函数的零点就是一元二次方程的根
函数零点的定义：
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函 数y=f(x)的零点。
y
2
y
y
.
2
－1
. .0
－3 －4
1
－1 －2
.
1 2 3
.
x
－1
2 1
. .
.
3 2 1
5
.
4
.
0
.
1
.
2
.
1
.
2
.
x
－1
0
3
x
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
一元二次方程的根就是二次函数图象 与x轴的交点的横坐标.
判别式△ = b2－4ac
y
y
b a o x a o b x
若函数y=f(x)在（a,b）有零点能 得到f(a)f(b)<0吗?
判断函数y=x2-2x-1 在区间(2,3)上是否存 在零点?
f(2)<0,f(3)>0在(2，3)存在零点
例题：
求证:函数 f ( x) x x 1在区间(-2,-1) 上存在零点.
函数的零点
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
求一元二次方程的根并画出二次函数的图象
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点
x2－2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3 x2－2x－3=0
函数零点存在性的判定
⑷若方程x2+2x+m+1=0有两实根,且一根比2 大,一根比2小,求实数m的范围？
⑸方程x2+mx+3=0有两实根x1,x2,且满足条件 0<x1<1<x2<4,求实数m的范围.
零点是一个点吗?
注意：
零点指的是一个实数；
求证:二次函数y=2x2+3x-7有 两个不同的零点;并求出零点. 证明：函数y=x2-2x-1有两个不同的零点
练 习
变式:判断函数f(x)=x2-2x-1 在区间 (2,3) 上是否存在零点
若是函数y=x3-2x-1呢?
甲
乙
甲
乙
问 题
甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了 吗?过了几趟? 乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河? 过了几趟?
3 2
⑴函数 f ( x) x 3 3x 1在区间(0,1)上有 零点吗? (2)判断函数f(x)=2x+x-4在区间(1,2)上是否 有零点? 变式:判断方程2x+x-4=0在区间(1,2)上 是否有根?
函数零点的定义 等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 零点的求法 代数法 几何法