指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
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核心素养培养目标
1.了解函数零点的定义,并
会求简单函数的零点.
2.理解函数的零点与方程
的解的联系.
3.掌握函数零点存在的条
件,会利用两种角度判断函
数零点的个数.
4.要深刻理解零点存在定
理,并能解决零点的存在性
等问题.
核心素养形成脉络
课前篇
B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
二、方程、函数、图象之间的关系
1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;
)
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)f(0)<0.
所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
答案:B
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随堂演练
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
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自主预习
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?
方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即
为函数的零点.
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变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数
y=logn(mx+1)的零点.
自主预习
一
二
三
一、函数的零点
1.已知函数f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.
提示:交点坐标A(-3,0).
(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关
系?
提示:相等.
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一
二
三
2.填空:
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方
程x2+3(m+1)x+n=0的实根.
所以有 1 + 2 = -3( + 1),解得 = -2,
1 × 2 = ,
= 2.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
值为零.
4.你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?
提示:①y=lg x的零点是x=1;②y=lg (x+1)的零点是x=0;③y=2x没
有零点;④y=2x-2的零点是x=1.
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一
二
三
5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是(
)
A.(±1,0)
求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
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随堂演练
1
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得 x=-8或 x=1.
无交点
1
无零点
函数的
图象
方程的实数根 x1=-1,x2=3
函数的图象与
(-1,0),(3,0)
x 轴的交点
函数的零点 -1,3
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一
二
三
(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?
提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函
数y=ห้องสมุดไป่ตู้(x)有零点.
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一
函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数
y=f(x)的零点.
3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?
提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数
的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数
提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.
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一
二
三
5.判断正误:
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则
f(x)在区间(a,b)内没有零点. (
)
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(
二
三
三、函数零点存在性定理
1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间
[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,
你可以得出什么样的结论?
提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
2.填空:
函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)
③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数
的零点的表格吗?
课前篇
自主预习
一
二
三
提示:
方程
函数
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0
y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
x1=x2=1
无实数根
(1,0)
1
所以函数的零点为-8,1.
1
3
(2)令 1+log3x=0,即 log3x=-1,解得 x= .
1
所以函数的零点为3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数
y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种