摘 要 给 出 一类 非线 性 变 系 数 中立 型微 分 方 程 在 弱 条 件 下 振 动 的 几 个 充 分 条 件 ． 关 键 词 中 立 型微 分方 程 ； 动 ； 振 充分 条件
０１ ５ ７ ７ ． 文 献标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ － ３ ９ ２ １ ） ４ ０ １ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ —０ ９ ０
２ （ ）＜ ０， ￡
当 ｔ 分大 时 ， 方程 （ ）的解 （） Ｏ ＜ ０ ， 充 若 １ ＞ （ ） 则称 之为 最终正 （ ）解 ； 解 ｚ ￡ 负 若 （）既不 最终 为 正 ， 也不 最终 为负 ， 则称 之振 动． 方 程 （ ）的任 一解 都 若 １ 是振 动 的 ， 则称方 程 （ ）振动 ． １ 设有 常数 ａ＞ ０ 记 ，
中 图分 类 号
设 非线性 中立型微 分方 程为
（ ￡ ｚ（ ）一 Ｐ（ ） 一 ｒ ） ￡ ｚ（ ） ＋
的四个 简便 的充分 条件 ． 引理 １ 若 ｚ 为方程 （）的最终 正（ 解 ， （ ） １ 负） 且
（） １ ０＜ （ ）≤ １ ，
Ｑ（） （ ￡ ￡ － ｚ（ 一 ） 厂 ）一 ０（ ≥ ｒ ， ￡ ）
证 明 只证 明 ｚ ￡ （）为 方程 （ ）的最 终 正解 的 １
情形． 在此情 形 下 ， 然成 立 显
２ （ ＜ ｏ， ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算 数 学 研 究 ． ｍａｌ￣ｆ０ ６ ７ １３ ｔｍ Ｅ ｉ ２００＠ ６．ｏ ：
２ ０
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 ７月
并且 存 在 ｔ ≥ ｒ 当 ｔ ｔ ， （）＞ ｏ 假设 ， ≥ 时 ｚ ￡ ．
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ４ ２ １ — ６０ ； ２ １ — ５１
引理 ２ 若 ｚ （）为 （ ）的最 终正 （ ）解 ， １ 负 （） ≥ １ 且 条件 （ １ ， Ｃ ）与条 件 （ ２ 成立 ， 最终 有 Ｃ） 则
（）＜ ０ （ Ｏ ， ￡ ＞ ） （）＜ ０ （ ０ ． ＞ ）
ｚ 一 （）一 Ｐ（ ） （ （） ｆ 一 ｒ ， ）
并 存在 ｔ ≥ ｒ 当 ｔ ｔ 时 ， ￡ ＞ ０ 假设 ， ≥ ｚ（） ．
ｚ￡ （）≤ ０ ，
由于 Ｑ（）不 最 终 为 零 ， ￡ 又 （）＜ ０ 所 以存 在 常 ￡ ，
数 ｂ＞ ０与 ｔ ｔ， ｔ ｔ ， ≥ １ 当 ≥ 时 （）＜一ｂ 于是 ．
＋ ｏ ） ｏ ，
这与 ｚ （）为方 程 （ ）的最 终 正解 矛 盾． 据 反证 法 １ 根 可知假 设不 成立 ， 而有 ｚ 从 （）＞ ０ ．
型微 分方 程 （ ） 文 ［ ］给 出 了几 个 充 分 条 件 ， 条 １， ６ 但 件 复杂不 方便应 用 ．本文 将 给 出微 分 方 程 （ ）振动 １
于 是
ｚ（ ＋ 珩 ）＜ 一 （ ｆ ｎ＋ １ ６＋ ｘ（ — ｒ ， ） ｔ ）
成立 ， 则微 分方 程 （ ）振动［ ； １ 如果
ｊｔ ｐ ］ 。 ’Ｑ ｅ［胁 ｚ 。 ７ （ｘｒ ￣
成立 ， 则微 分方程 （ ） 动 对 非 线性 变 系 数 中立 １振 引．
ｚ（ ＋ 珩 ）一 一 ∞ （ ｔ
作者简介： 陈新 明 （９ ４ ， ， 南攸 县 人 ， 士 ， 教 授 ， 要 从 事 １ ５ 一） 男 湖 硕 副 主 基 础 数 学 研 究 ．Ｅ ｉ：ｈ ｉｍ＠ １ ３ ｃｒ ｍａ ｃｘｎ ｌ ６ ．ｏ ｎ
杨 逢 建 （ ９ ４ ） 男 ， 南醴 陵人 ， 士 ， 授 ， 要 从 事 计 １５ － ， 湖 硕 教 主
厂（ ｚ）∈ Ｃ（ ， ） ，（ ）一 ０ 嗯 ， Ｏ ，
证 明 只 证 明 ｚ （）为方 程 （ ）的最 终正 解 的 １
且 当 ｚ≠ ０时 ， 有
ｘ ）＞ ０ ｆ（ ．
情形， 为最终 负解 的情 形类 似可证 ． 若 ｚ 为方 程 （ ）的最 终正解 ， 显然成 立 （） １ 则
（ ）＞ ｏ，
Ｄ（）一 Ｉ ｄ ， Ｑ（） ｔ 则 有
则 有
ｚ（）≥ ｐ（ ） ｔ ｒ ￡ ｔｘ（ — ）＞ ｘ（ — ｒ ， ｔ ）
当 （）一 １时 ， ￡ 如果 条件 （ ２ Ｃ ）成立 ， 微 分方 则
程 （ ）振 动 ［ ； 果 １ 卜 如
ｘ（ ＋ ｒ ｔ ）＜ 一 ｂ＋ ｚ （）＜ 一 ２ ＋ ｘ（ — ｒ ， ｂ ｔ ）
… …
●
Ｊｒ
Ｉ ￡ ￡Ｊ Ｑ（）ｓｔ 。 Ｑ（ Ｉ ）ｔ ｓｄｄ 一 。
第 １ ５卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ７月
高 等 数 学 研 究
ｓＴＵ ＤＩ ＥＳ Ｎ Ｉ ＣｏＬＬＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ４ １１ ， ． Ｊ１ ｕ ．，２ １ ０２
一
类非线性变系数 中立型微分方程振动的充分条件
陈 新 明 ，杨逢 建
（ 恺 农 业 工 程 学院 计 算 科 学学 院 ， 东 广 州 ５ ０ ２ ） 仲 广 １ ２５
其 中 Ｑ（）不最 终 为零 ， ｆ 而
ｒ ∈ ＋， ｒ— ｍａ ｒ ） ， ｘ｛ ， ，
则 最 终 有
２ （ ）＜ ｏ （ Ｏ ， ＞ ） ｚ￡ （ ）＞ ０ （ Ｏ ． ＜ ）
（） Ｑ（）∈ Ｃ（ ｒ ＋ ｏ ） Ｅ ， ｃ ） ， ￡， ［ ， ｏ ， ｏ ＋ ｏ ）
ｚ（）一 ｘ（ — ｒ ￡ ｔ ）≤ ｚ（ ）一 ｐ（） ｔ ｒ ￡ ｔ ｘ（ — ）一
给定 条件 （ １ Ｉ （ ）ｉ Ｃｌ Ｃ） 厂ｚ ≥ ｌ 常数 Ｃ ０ ． （ ＞ ）
ｚ￡ （ ）＜ 一 ｂ，
（ ２ Ｉ Ｑ（） 一 ｏ ． ｃ） ￡出 ｏ
’
也 即
ｚ（ ）＜ 一 ｂ＋ ｘ（ — ｒ ￡ ｔ ），