人教版九年级数学阴影问题解题方法及其训练
在学习圆的相关知识时，同学们经常遇到求圆中阴影部分的面积问题，并且每位同学都希望自己是破解这类问题的高手，也许下文的内容，能帮你实现这个梦想。
细心品读试一试。
1、平移三角形的顶点到圆心，利用三角形的等积变形求阴影部分的面积
例1、如图1所示，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD//BC ，AC 平分BCD ∠，120ADC =∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ）
A .
B .
C .
D .
分析：
由AD ∥BC ，可以知道四边形ABCD 是等腰梯形，因此，AB=CD ，∠ADC=∠DAB=120°, ∠ABC=∠DCB=60°，
由AC 平分BCD ∠，可以知道∠ACD=∠ACB=30°， 由AD ∥BC ，可以知道∠DAC=∠ACB=30°， 因此，AD=CD ，∠BAC=90°， 所以，BC=2AB ，
由四边形ABCD 的周长为10cm ，得到AB+BC+CD+DA=10， 即5AB=10，所以，AB=2,因此，圆的半径是2cm ，
如图2所示，将三角形ADC 的顶点C 平移到圆心O 的位置上，
则三角形AOD 与三角形ACD 是同底等高的三角形，因此，这两个三角形的面积相等， 而三角形AOD 的面积比三角形ACD 的面积好求，
根据圆心角与圆周角的关系定理，得到：∠AOD=60°， 所以，三角形AOD 是边长为2的等边三角形，
因此，三角形的高为：122
-=3，因此，三角形AOD 的面积是：
322
1
⨯⨯=3， 所以，阴影部分的面积是3。
解：选择B 。
2、利用对称性求阴影部分的面积
例2、如图3-1所示，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1
y x
=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ．
分析：
根据反比例函数、圆都是关于原点对称，只需把第一象限内的阴影面积，根据对称性，补到第三象限图像中空白上，从而使阴影部分的面积形成一个完整的圆，只需求出圆的半径即可。
解：
设点A 的坐标是（a ，b ）, 因为，A ⊙与x 轴和y 轴相切， 所以，a=b ，
因为，圆心A 在反比例函数1
y x
=的图象上， 所以，ab=1，即2
a =1，
所以，a=1，也就是圆的半径是1，
如图3-2所示，所以，阴影部分的面积是：2
1⨯π=π。
3、平移圆心到圆心，利用特殊位置的阴影面积求弦长
例3、如图4-1所示，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
分析：
当我们将圆心P 平移到圆心O 的位置上，如图4-2所示，不难发现图1中的阴影部分面积，与图2中圆环面积是相等的，
由点C 是切点，得到OC ⊥AB ，所以，三角形AOC 是直角三角形， 根据勾股定理，得：AC 2=OA 2-OC 2
,
所以，圆环的面积等于：π×OA 2-π×OC 2=π×AC 2
=9π， 所以，AC 2
=9，
所以，AC=3，
根据垂径定理，得到：AB=2AC=6。
解：选择C 。
4、利用旋转求阴影部分的面积，求半径
如图5-1所示，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC=BD ；
（2）若图中阴影部分的面积是2 4
3
cm π，OA=2cm ，求OC 的长．
分析：
由∠COD=∠AOB=90°，∠AOD 是公共角， 因此，∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD ，
即∠COA=∠DOB ，再利用同圆的半径相等，易证三角形COA 与三角形DOB 是全等三角形，这样问题就获得解决。
问题2在解答时，只需将三角形COA 绕点O 按照逆时针方向旋转90°，就将不规则的阴影部分面积转化成扇环的面积，这样就易求多了。
解：
（1）证明：
因为，∠COD=∠AOB=90°，∠AOD 是公共角， 所以，∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD ， 即∠COA=∠DOB ，
因为，OC=OD ，OA=OB ， 所以，△COA ≌△DOB ， 所以，AC=BD 。
（2）如图图5-2所示，根据题意得：
360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=
-=πππ阴影
； 所以，360
)2(904
32
2OC -=ππ
解得：OC ＝1cm ． 5、跟踪练一练
a 、如图6所示，⊙O 的半径为2，C 1是函数y=12x 2的图象，C 2是函数y=-12
x 2
的图象，则阴影部分的面积是 .
b 、（1）如图7，圆内接△ABC 中，AB =BC =CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G . 求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 面积的
3
1
. （2）如图8，若∠DOE 保持120º角度不变.
求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 面积的
3
1.
6、参考答案 a 、2π。
b、。