2 2 4
B1 1 3 2 N ( A) A A 2 16
8.2.3 典型非线性特性得描述函数
1.饱和特性的描述函数
X(t) X(t)
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b ω t 1 2
X(t)是单值奇函数，所以A1=0
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入 的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反 映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅 相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
8.2.2描述函数
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
1
e(t)

0
4kA 4ka sin2 d π π
1


2
1

0
4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
2k a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A
8.1.4
继电器特性
8.1.4
继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 , 0 , (t ) 0 a e ( t ) m a , e x(t ) bsign[e(t )], e(t ) a b , e(t ) m a, e (t ) 0 (t ) 0 b , e(t ) m a, e
（6）气动或液压滑阀的搭接段。 放大器的输出饱和或输出限幅
8.1.3
间隙特性
具有间隙特性的实际系统： （１）齿轮转动系；
（２）磁化特性；
（３）液压传动中的油隙特 性。
(t ) 0 k (e(t ) ), x (t ) 0 x(t ) k (e(t ) ), x bsign(e(t )), x (t ) 0
如何判别自激振荡的稳定性？
当负倒特性轨迹从不稳定区进 入稳定区时，交点处的自激振 荡是稳定的自激振荡。 当负倒特性轨迹从稳定区进入 不稳定区时，交点处的自激振 荡是不稳定的自激振荡。
自激振荡
8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 自激振荡振幅和频率的确定



2 k ( A sinω t
1
a) sinω td (ω t )
2kA a a a [ sin1 ( ) 1 ( ) 2 ] 2 A A A
N ( A)
2k a a a [ arcsin( ) 1 ( )2 ] π 2 A A A
3.间隙特性的描述函数
8.2.1 描述函数法的基本思想与条件
2. 基本条件 a) 非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为零； b) 线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐波；
c) 非线性特性不是时间函数。因为描述函数法本质上
是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用； a) 系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节。
国 家 精 品 课 程
自动控制原理
Principles of Automatic Control主讲人：来自王 万 良wwl@
第8章 非线性控制系统分析
导 读
为什么要介绍本章?
被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。 例如控制系统中常出现稳定的自激振荡， 这是线性模型中不 存在的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性系统理论 不能分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的 方法是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以 修补使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。


2

[



2 0
k ( A sinω t a) cosω td (ω t )

1
k ( A a) cosω td (ω t )
2
k ( A sinω t a) cosω td(ω t )]

1
B1
2 kA 2a 2a 2a k ( A sinω t a) sinω td(ω t )] [ sin 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2 ] 1 2 A A A B1 A1
A1
B1
1 π
1 π
2
0 2
x(t) cosω td(ω t)
X 1 A12 B12
x(t ) sinω td(ω t )
0
8.2.2描述函数
1 X 1e j1 x X 1 j1 B1 A1 N ( A, j ) e j j 0 e A A A Ae


x(t ) sinω td(ω t ) 2 [ k ( A sinω t a) sinω td(ω t )

0 2 0
2

4ka a ( 1) A
1

k ( A a) sinω td(ω t )
N ( A)
A
j
A
k 2a 2a 2a 4k a a [ sin1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2 ] j ( 1) 2 A A A A A
非线性系统与线性系统的区别（4）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也 是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它 来表示系统固有的动态特性。 非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。
非线性系统与线性系统的区别（5）
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲响 应函数等概念。 工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非 线性不严重(光滑、连续）的准线性系统，常常采用线性化 的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。 对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非线性 特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。
2.描述函数的求取 1）绘制输入—输出波形图，写出输入为 e(t ) A sin ω t 时非线性输出表达式
2）由波形图分析 x(t ) 的对称性，并计算
A1 B1 X 1
1
3）描述函数为 N ( A)
B1 A X j 1 1 e j1 A A A
8.2.2描述函数
例 非线性元件的静特性方程为
X(t) X(t)
k ( A sin ω t a ) 0 ω t 2 x(t ) k ( A a) ω t 1 2 k ( A sinω t a) 1 ω t
e(t)
k ( A sin ω t a ) 0 ω t 2 x(t ) k ( A a) ω t 1 2 k ( A sinω t a) 1 ω t 2 A1 x(t ) cosω td (ω t ) 0
8.1.2
死区特性
具有死区特性的装置： （１）测速发电机转速很低时， 输出电压几乎为0； （２）伺服电机的死区电压 （启动电压）； （３）各种电路中的门槛值 （阈值）； （４）电气触头间隙； （５）弹簧的预张力；
e(t ) a 0 , x(t ) k[e(t ) asign(e(t ))] , e(t ) a
4.继电器特性的描述函数
X(t) X(t)
e(t)
8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡
1 N ( A)G ( j ) 0
G ( j )
1 N ( A)
8.2.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 奈氏图上的稳定性分析
当系统处于某一状态时，
对应的负倒特性曲线上的
8.2.2描述函数
1.描述函数的定义
A0 x(t ) 2

( A cosiω t B siniω t )
i i i 1
2
1 Ai π
x(t) cosiω td(ω t)
0
1 Bi π
2
x(t) siniω td(ω t)
0
x1 (t ) A1 cost B1 sint X 1 sin( t 1 )
2.死区特性的描述函数
X(t) X(t)
单值奇函数，具有半周期的对称性
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2

e(t)
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
B1 4
8.2 描述函数法
8.2.1 描述函数法的基本思想与条件 8.2.2 描述函数
8.2.3 典型非线性特性的描述函数
8.2.4 用描述函数分析非线性系统的自激振荡
8.2.1 描述函数法的基本思想与条件
1. 基本思想 描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基 波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。 所以这种方法又称为一次谐波法。
8.1 典型非线性特性 8.1.1 饱和特性
具有饱和特性的装置：
•放大器的输出饱和或输出 限幅
•具有行程限制及功率限制 的液压调节阀 •伺服电机在大控制电压下 运行的转速特性
•流通孔径限制
ka , e(t ) a x(t ) ke(t ) , e(t ) a ka , e(t ) a
本章主要讲什么内容?
首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法，着重 分析自激振荡。最后介绍适合于二阶非线性系统的相平面法。
第8章 非线性控制系统分析
8.1 典型非线性特性 8.2 描述函数法 8.3 相平面法