有限元法的力学基础——弹性力学
二、弹性力学的基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 物理方程
有限元法的力学基础——弹性力学
二、弹性力学的基本方程
1. 平衡方程：表达了应力和载荷的关系（共 3个）
xy x xz x y z pvx 0 y yz xy pvy 0 y z x yz z xz x y z pvz 0


COSMOS主要功能模块（P1）
COSMOSWorks Designer：对零件或装配体的静态分析
0 0 0 u z v 0 w y x
y
0
x z
0
有限元法的力学基础——弹性力学
二、弹性力学的基本方程
3. 物理方程：又称本构方程或广义虎克定理，表达了 应变和应力的关系（共6个） x 1 ( x y z )

1 1

1
0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0

1 0 0 0

1 0 0 0
1
0 x y 0 z 0 xy yz 0 zx 1 2 2(1 ) 0
σ D
有限元法的力学基础——弹性力学
二、弹性力学的基本方程

相互关系
边界条件
位 移
变 形
应 力
面 力
体 积 力
几何方程
物理方程
平衡方程
有限元法的力学基础——弹性力学
三、未知量求解方法
1. 力法 2. 位移法 3. 混合法
有限元法的力学基础——弹性力学
四、弹性力学的解题思路
基本未知量 平衡方程 载 荷 位 移 几何方程 应 变 物理方程 应 力
Pv=[ pvx pvy pvz ]T
有限元法的力学基础——弹性力学
一、弹性力学中的物理量
2. 应力
x

分为：法向应力（即正应力）和剪切应力（即剪应 力），表达为：σ =[σ σ σ τ τ τ ]T
x y z xy yz zx
有限元法的力学基础——弹性力学
一、弹性力学中的物理量
3. 应变
z
ydy
平衡方程：表达了应力和载荷的关系
#
单元、节点和载荷
载荷
节点:是空间中的坐标位置，具有 一定自由度和存在相互作用。 单元:是一组节点相互作用的矩阵 （称为刚度或系数矩阵)描述。
载荷：施加于单元或节点上的力。
载荷
#
有限元模型的数据
有限元分析的基本步骤
1.
2.
结构分析
网格划分
3.
4.
确定边界条件、材料特性等
解题占用的磁盘空间比为1:14:22。
2. 解题对象： ANSYS和NASTRAN是商业化比较早的软件，在国内 知名度高，侧重于线性分析 。 ADINA、ABAQUS在非线性分析方面有较强应用。
COSMOS软件

是SRAC （Structural Research & Analysis Corporation） 公司工程推出的一套强大的有限元分析软件。 1995年，SRAC公司与SolidWorks公司合作开发了 COSMOS软件，成为SolidWorks Office的一个插件。 使用COSMOS，可以最大限度地缩短设计周期，降低 测试成本，提高产品质量。
1. 物体是连续的。物体内的一些物理量，如密度、 应力、应变、位移等可以用连续函数来表示。 2. 物体是完全弹性的，即在变形过程中应力和应变 之间的关系是线性的，材料满足虎克定理。 3. 物体是均匀的。整个物体的所有各部分具有相同 的物理性质。
材料力学中关于材料性质的假设
4. 物体是各向同性的。物体内每一点各个方向的物 理性质（如密度、弹性模量、泊松比等）都是相 同的。 5. 物体的变形是微小的，即小位移、小应变和小转 动假定。当物体受力后，各点位移都远小于物体 的原有尺寸；在考虑物体变形时，应变和转角的 平方项或乘积项都可以略去不计。
研究组合体受外力作用、边界约束或温度改变等原 因而发生的应力、应变和位移等。 #

有限元分析的关键点
1. 分
连续体 离散技术 离散体
2. 合

单元之间通过节点连接，并承受一定载荷，组成有限 单元集合体，建立整个物体的平衡方程。
注：由于单元的分割和节点配置比较灵活，有限元法
可以适用于任意复杂的几何结构。

弹性力学与材料力学

弹性力学与材料力学的比较：
2. 研究的方法：

材料力学是对构件的整个截面从静力学、几何学与物 理学来建立条件的，因而要常常引用一些截面的变形 状况或应力情况的假设。简化了数学推演，但得出的 结果往往是近似的。 弹性力学是对构件的无限小单元体来建立静力学、几 何学与物理学三方面条件, 分别建立三个基本方程。 在弹性体的边界上, 还建立边界条件。因此，弹性力 学的分析方法比较严密，得出的结论比较精确。
有限元素法
主 讲： 陈慧敏
E – mail : ch_huimin@
办公地点： 机械学院楼5045＃
讲课前先看录像“德国高铁惊魂”
第一章 绪论
有限元分析技术

本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的 应用。 有限元法的力学基础是弹性力学，方程求解的原理 是泛函极值原理（即变分原理），实现的方法是数 值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。
课程目的

了解有限元法的基本原理和方法，包括单元分析、 整体分析、载荷和约束处理等概念。 学会在COSMOSWorks中分析一些工程问题，包括 应力分析、应变分析、变形分析、间隙/接触分析、 热力分析和疲劳分析等。

使用教材
主教材

COSMOS 基础教程： COSMOSWorks Designer ，（美） SolidWorks公司著，机械工业出版社.
二、弹性力学的基本方程
3. 物理方程：表达了应变和应力的关系（续）
1 x 1 y E (1 ) z 1 σ xy (1 )(1 2 ) 0 yz 0 zx 0
x
弹性力学与材料力学

弹性力学与材料力学相比：
1. 研究的对象更普遍 2. 分析的方法更严密 3. 研究的结果更精确
弹性力学的特点

研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨， 因而解算时需要冗长的数学运算。 为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料 力学中关于材料性质的假设。

材料力学中关于材料性质的假设
有限元法的力学基础——弹性力学
一、弹性力学中的物理量
Pc=[pcx pcy pcz]T Ps= [psx psy psz]T Pv=[pvx pvy pvz]T σ =[σ x σ y σ z τ
xy
τ
yz
τ
T ] zx
ε =[ε x ε y ε z ν
xy ν yz ν zx
]T
r=[u v w]T
弹性力学与材料力学

同属于固体力学领域，都是研究弹性体在外力作用 下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形等。 弹性力学与材料力学的比较：
1. 研究的对象 2. 分析的方法 3. 研究的结果

弹性力学与材料力学

弹性力学与材料力学的比较：
1. 研究的对象

材料力学只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度 远大于宽度和厚度的构件。 弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无 法研究的板、壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于 第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。
E 1 y ( y z x ) E 1 z ( z x y ) E 1 xy xy G 1 yz yz G 1 zx zx G
有限元法的力学基础——弹性力学
有限元法的力学基础——弹性力学
二、弹性力学的基本方程
2. 几何方程：表达了应变和位移的关系（共 6个）
u x x v 0 x y w y 0 z z ε u v xy x y yz y w v zx 0 z y w u z x z

有限元法的力学基础——弹性力学
一、弹性力学中的物理量
1. 载荷 2. 应力 3. 应变 4. 位移
有限元法的力学基础——弹性力学
一、弹性力学中的物理量
1. 载荷

又称为外力 ，即外界作用在弹性体上的力，分为： 集中力、面力和体力，分别表达为： Pc=[ pcx pcy pcz ]T Ps=[ psx psy psz ]T

期末上机考核占70%

有限元法的基本原理，方法，概念等 典型机械零件和装配体的限元分析
现代机械设计
FEA: Finite Element Analysis
当有零部件破坏时

物理实验


FEA

金相检查 各种仪器检测 重新设计、重新试验
了解到各种工况数据


看到失效形式
找到危险零部件
z
vyz
dz
dz
dx dy
O
dx dy
y x
O
y
x

分为：法向应变（即正应变）和剪切应变（即剪应 变），表达为： ε =[ε ε ε ν ν ν ]T