《概率论与数理统计》模拟试题一答案
一、填空(每空3分，共42分)
1、从1，2，…，100这100个数中，任意抽取一个数，此数能被2或被5整除的概
率为 0.6 . 2、已知5.0)(,2.0)(==B P A P ，且事件A 与B 相互独立，则=)(AB P 0.1 .3、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<=.5.1,
1,
5.11,21
,10,2
,0,
0)(x x x x x
x x F
则)3.14.0(≤<X P = 0.6 .
4、已知随机变量Y X , 相互独立，且),1,0(~),1,0(~N Y N X 设221Y X Z += ,Y X Z +=2则~1Z )2(2χ; ~2Z )2,0(N ;=)(1Z E 2 .
5、设随机变量X 的分布律为
则)42(≤≤X P =
4
3. 6、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.2,1,20,sin ,0,0)(ππx x x A x x F 则A = 1 .
7、已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，
第二次取出的是次品的概率为 0.2 . 8、若随机变量X 在区间（0，10）上服从均匀分布，则
)31(≤≤X P = 0.2 ； )(X E = 5 .9、已知随机变量Y X , 相互独立，且
),5,2(~),4,1(~N Y N X
则=>+)3(Y X P 0.5 .
10、设总体)(~λπX ， n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，X 和2S 分别为样本
均值和样本方差，则参数λ的矩估计为 X .
11、已知随机变量Y X ,满足关系12=+X Y ，则XY ρ -1 . 二、单项选择（每题2分，共8分） 1、已知0)(,1)(==B P A P ，则（D ）. A 、 A 为必然事件，B 为不可能事件
B 、 A 为必然事件，B 不是不可能事件
C 、 A 不是必然事件，B 为不可能事件
D 、 A 不一定是必然事件，B 不一定是不可能事件 2、已知X 服从泊松分布，则==}{x X P （ B ）.
A 、
λ
λe x
x
B 、
λ
λ-e
x x
!
C 、
λ
λe x x
!
D 、
λλ--e x x
!
3、设),(~2σμN X ，)(b X a P ≤≤=（ B ）. A 、)()(a b Φ-Φ B 、)(
)(
σ
μ
σ
μ
-Φ--Φa b
C 、)(
)(
σ
μ
σ
μ
-Φ+-Φa b D 、)(
)(
σ
μ
σ
μ
-Φ--Φb a
4、当2σ已知时，总体均值μ的1-α置信水平下的置信区间为（A ）. A 、n
Z X σ
α
2
± B 、n
Z σ
μα
2
0± C 、n
t X σ
α
2
± D 、n
Z X 2
2
σα
±
三、（每题10分，共30分）
1、某厂有4个车间D C B A ,,,生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，40%，10%，20%. 已知这四个车间产品的次品率分别为0.10, 0.05, 0.20和0.15，从该厂任意抽取一件产品，发现是次品，问这件次品是由A 车间生产的概率为多少？ 解：设k A 分别表示4个车间D C B A ,,,生产的产品 ，4,3,2,1=k B 表示取到的产品是次品，
由已知得: ,2.0)(,1.0)(,4.0)(,3.0)(4321====A P A P A P A P
15.0)|(,2.0)|(,05.0)|(,1.0)|(4321====A B P A B P A B P A B P
由全概率公式 ∑==4
1)()()(i i i A B P A P B P = 1.0
由贝叶斯公式 3.0)
()
()()(111==
B P A P A B P B A P
2、设随机变量X 的概率密度是 ,0 0 ,3)(32
⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其它.θθx x x f
（1）若8/7)1(=>X P ，求θ的值；（2）求X 的期望与方差.
解：（1） 由已知，8
7
1
11
3)()1(3
133
1
1
3
2
=
-
==
==>⎰⎰
∞
θθθθθ
x dx x dx x f X P 解得2=θ. （2）⎰+∞
∞-=dx x xf X E )()(
23
2
32
32==⎰
dx x x
22)]([)()(X E X E X D -= ⎰+∞
∞-=dx x f x X E )()(22
5122
32
3
22
==⎰
dx x x 所以22)]([)()(X E X E X D -==
20
3
3、设随机变量),(Y X 的联合分布律为
设2)(Y X Z -=.（1）求)(Z E ；（2）求),(Y X Cov . 解：（1）Z 的分布律为
显然6.0)(=Z E
（2）)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -= 而XY Y X ,,的分布律分别为
所以1.24.033.023.01)(=⨯+⨯+⨯=X E
7.17.023.01)(=⨯+⨯=Y E
8.34.062.04032.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=XY E
得23.07.11.28.3)()()(),(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov
四、（10分）设随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤+=.,020,10,),(2其它，
y x Axy x y x f 求（1）A 的值；（2）关于X 的边缘概率密度函数． 解：（1）由
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ),(1)(1
2
2=+=
⎰
⎰dy Axy x dx ，
解得 3
1
=
A ． （2）关于X 的边缘概率密度
⎪⎩
⎪⎨⎧<<+==
⎰⎰
∞
+∞
-.0,
10,)3
1
(),()(202其它，x dy xy x dy y x f x f X
⎪⎩
⎪⎨⎧<<+=.0,
10,3
2
22其它，x x x 五、（每题5分，共10分）
1、设样本821,,,X X X 来自总体)2,0(N ,
254322211)()(X X X c X X c Y ++++=.
若统计量Y 服从)2(2χ分布，求常数21,c c .
解：由已知， )6,0(~),4,0(~54321N X X X N X X +++，
所以，
)1,0(~4
2
1N X X + ，
)1,0(~6
3
43N X X X ++
由2χ分布的定义， ++22
1)4
(
X X 23
43)6
(
X X X ++)2(~2χ，
得4
1
1=
c ，612=c .
2、设总体X 的分布律为
其中)10(<<θθ为未知参数.已知取得了样本值1,2,1321===x x x . 求θ的最大似然估计.
解：似然函数为 )1(2)1(2)()(5223
1θθθθθθθ-=-===∏=i i x X P L
)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L
θ
θθθ--=11
5)(ln d L d 由
0115)(ln =--=θθθθd L d ，得6
5ˆ=θ
附录： 9772.0)2(,975.0)96.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.。