1.1.1 任意角
【课题】：任意角 【学情分析】：教学对象是高一的学生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广，引发学生的认知，然后用具体例子，将初中学过的过0360︒︒
~之间的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。

【教学三维目标】： 一、知识与技能
1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；
2、象限角的概念；
3、终边相同的角的表示方法； 二、过程与方法
1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 三、情感态度与价值观
树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。

【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 【教学难点】：终边相同的角的表示. 【课前准备】：几何画板课件。

【教学过程设计】： 教学环节 教学活动
设计意图 一、课程引入
教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
教师讲解：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒
︒
~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
创设问题情景，让学生在问题解决的过程中感知任意角.
二、探究新
知
教师提问：
1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？
[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，
教师讲解：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的范围是0360︒︒
~。

鼓励学生自己回顾
0360︒︒~角的概
念，积极用自己的语言概括，引导学生转向对任意角的探索。

教师提问：2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经
常听到这样的术语：“转体720︒
” （即转体2周），“转体1080︒”（即转
体3周）等,都是遇到大于360︒
的角以及按不同方向旋转而成的角.同学
们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒
的角或按不同方向旋
转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 教师讲解：[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). 教师讲解：[展示课件]如教材图1-1-2(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1-1-2(2)中，
正角210α︒
=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念
推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 教师提问：3.能否以同一条射线为始边作出下列角吗？ 120︒，135,540︒︒--。

教师讲解：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1-1-3中的30︒角、210︒
-角分别是第一象限角和第三
象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何
结合具体实例，感受角的概念推广的
必要性。

利用新概念重新认
识问题，并加深任
意角的了解。

让学生感受没有统
一的参照系时，角
的表示的不方便。

为了讨论方便，在
直角坐标系中研究角，并给出象限角
的概念，同时也为下一步研究三角函数奠定基础。

一个象限,称为非象限角.
教师提问：4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?
7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
教师提问：5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1-1-4),以它为终边的
角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析. 教师讲解：[展示课件]不难发现,在教材图1-1-4中,如果32︒
-的终
边是OB ,那么328,392︒︒
-角的
终边都是OB ,而,328321360︒︒︒
=-+⨯，39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.
设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒
-角都是S 的
元素,32︒-角也是S 的元素.因此,所有与32︒
-角终边相同的角,连同
32︒-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32
︒
-角终边相同. 一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα︒
==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都
可以表示成角α与整数个周角的和. 教师出示例题： 例 1. 在0360︒︒
~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并
判定它是第几象限角.（注：0360︒︒
－是指0360β︒︒≤<）
解：0'0'095012129483360-=-⨯，所以在0360︒︒
~范围内，与
95012'︒－角终边相同的角是0'95012-，它是第二象限角。

小结：要求学生能在0360︒︒
~范围内，找出与已知角终边相同的角，并
判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础。

教师出示例题 例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
从具体问题入手，了解终边相同的角
的关系。

由具体到一般，认
识终边相同的角的
关系及其表示。

使学生能够熟练写出终边相同的角的集合，并判定其为第几象限角，为以
后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等
奠定基础。

{}
00290360,S k k Z ββ==+⋅∈}0
0270360,k k Z =+⋅∈={}0090180,k k Z ββ=+⋅∈
让学生理解终边在坐标轴上的角的表示。

教学中引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意用简约的形式。

教师出示例题 例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中{ββ=的元素是：
0180135⨯=-
0360的元素； 是第四象限角时，则．解析：能作出给定的角，并判定是第几象限角。

0360k α⋅01203
k α
⋅+第三或第四象限；所以0
01801351802
k k α
⋅+⋅+得终边在第二或第四象限； 0
005402720720,k k Z α⋅+∈，所以三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上。

}0180β,
B 等于（}
0036,54- B 00126,36,54-．如图1-1-6，终边落在阴影部分的角的集合是（0
45
αα-≤0360k β+0360k β---0018036090k β
--+A 。

0k =时，036α=-；当k 009036α=-=0
29036144α=⨯-=；时，0
9036126α=--=-。