从 而得 到 Ｓ＝ 一１ 这个 结果 显然 是荒谬 的． ＝ ＝ ， 为什 么会 出现 这种 荒谬 的结 果？ 通过这 个例 子 ， 以使 学生认 识 到 ： 可 中学熟知 的级 数求 和技 巧只适
第 ４期
金玲 玉 ， ： 学分析教 学改革 的 几点认 识 和体会 等 数
２ ， 它 即只有 收敛级 数 才 能运 刚 ． 而 引入 级 数 的 收敛 性 和发 散 级 数 从
间 的吸 引力等 ． 例 １ 导 数 概 念 的 引 入 一一 变 速 直 线 运 动 ， 线 斜 率 ｌ ． 切 ＿ 】 ｊ
初 等数 学一 般讨论 匀速 直线 运动 ， 速度 为 ： 一 ， 表示 速度 ， 表示 位移 ， 表 示时 Ｉ 但是 如何 求 ｓ ｔ Ｎ． 变 速 直线运 动在 时刻 ｔ 的瞬时速 度 呢？ 一ｌ （） ｉ ｍ
［ 金 项 目］ 华 南 农 业 大 学 教 改 重 点 项 目 （Ｇ１ ０ ３ 基 Ｊ ２ １）
２ ６
大 学 数 学
第２ ８卷
量的、 动态 的数 学 ， 它解 释和解 决那 些变化 的几何 问题 和运 动 的物 理过 程 ， 特别 是 描 述一 些 物体 的渐 近 行 为和 瞬时物 理量 等 ， 比如不 规则 图形 的长度 、 面积 和 体积 ， 般运 动 问题 ， 力 沿 曲线 作 功 ， 一 变 一般 物 体
以及整 个数 学思 维方 法 ， 在数 学学 习和 科学 研究 中起 着奠 基性 的重 要作 用． 学分 析一 直是 数学 教学 的 数
重 中之 重 ， 数 学 分 析 的 教 学 也 一 直 存 在 诸 多 难 点 ， 如 ： 学 内 容 过 于 抽 象 化 、 论 化 ， 易 使 学 生 感 而 比 教 理 容 到 枯 燥 ， 以 理 解 ， 发 学 生 的 学 习 兴 趣 难 ； 授 具 体 的 知 识 点 容 易 ， 学 生 掌 握 相 关 的 数 学 思 想 、 养 难 激 教 使 培
概 念 的来 龙 去脉 ， 降低 学生 学 习的 困难 ， 其次 ， 是我们 更 为看重 的一个 方法 是 ： 切结合 初等 数学 和初 也 密 等 微积 分 的 内容 ， 运用 悖论 和反 例进 行教学 ， 使学 生体 会 到微 积分 严 格化 的必要 性 ， 同时 在进 行计 算 和 证 明 时有 意识地 验证 条件 ， 避免 陷阱 ．
得 到
１ １ １
２ 一２ ＋寺 ＋÷ ＋吉 ＋ … 一２ Ｓ ＋１ ＋ｓ，
厶 Ｌ 士 Ｏ
从 而 得 到 Ｓ一 ２ ，即级 数 的 和 是 ２ ．
但若 对级 数 Ｓ一 １ ２ ４ ８ １ ＋ … 施行 同样 的变 换 ， 有 ＋ ＋ ＋ ＋ ６ 则
２ Ｓ一 ２＋ ４＋ ８＋ １ ＋ ６－ －… 一 Ｓ 一 １ ，
学 生 的数学 思维 能 力 和 创 新 能 力 难 ； 数 学 系 其 他 专 业 课 程 、 初 等 数 学 的学 习进 行 适 当 的衔 接 难 与 与 等 等． 针对 上述 难点 ， 面我 们结 合 自己多年来 进行 数学 分 析教学 改革 的实 践 ， 下 谈谈一 些认 识 和体会 ．
第 ２ ８卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ８月
大 学 数 学
Ｃｏ ＩＩＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ ＡＴ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ． ８。 ． １２ № ４
Ａｕ ２ ２ ｇ． ０１
数 学 分 析 教 学 改 革 的几 点 认 识 和体 会
金 玲 玉 ， 房 少 梅 ， 刘 文琰
究 的是 “ 格意 义下 的微 积分 ” 严 ．
数 学 系新生 在 学 习数 学分 析之 前 ， 绝大 部分 已经 在 中学学 过初 等微 积分 ， 括对极 限 和导数 等概 念 包 的较为 直观 的定 义 ， 以及较 为 简单 的求 极 限 、 导数 和求 积分 的运算 等 ． 求 而在 大学 阶段 所学 的“ 格意 义 严 下 的微 积分 ” 涵 盖 了初等 微积 分 的 内容 ， 在此 基础 上 对极 限 、 数 等概 念 给 出 了严 格 的数 学 定 义 ， ， 并 导 同 时对 微 积分 理论体 系中 的定理 给 出了严 格 的证 明． 了在 中学 微积 分教 学 的基础 上 ， 足 于更 高 的观点 为 立 来讲 授数 学分 析 ， 激发 学生 学 习 的兴 趣 ， 同时让学 生认 识 到 学 习“ 格 意 义下 的微 积分 ” 严 的必 要 性 ， 我们 作 了如下 两点 尝试 ： １ １ 联 系初 等数 学进 行教 学． ．
几点建议．
［ 键 词 ］数 学分 析 ； 学 改 革 ； 学 方 法 关 教 教 ［ 图分 类 号 ］Ｇ４ ４ 中 ２ ［ 献标识码］ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ ４ ４ ２ １ ） ４０ ２ —６ 文 ６ ２１ ５ （０ ２ ０ —０ ５０
在数 学专业 的本科 教学 中 ， 数学 分析 、 等代 数 、 析几 何 ” “ 高 解 通常 称为 “ 三基” 是大 学低年 级学 习 老 ， 的重要 基础 课 ， 中数学 分析 尤其 重要 ． 先它 历 时最长 ， 学时 约 ３ ０学 时左 右 ， 教学 过程贯 穿 三到 其 首 总 ０ 其 四个学 期 ； 次它为 学生 提供 学 习后继 专业 课程 （ 常微 分方 程 、 其 如 复变 函数论 、 变 函数 论 、 实 概率 统计 等） 所 必须 的基 本理 论 、 基本 方法 和基 本技 能． 数学分 析 所体 现 的分析 思想 ， 逻辑 推理 方法 ， 处理 问题 的技 巧
的概 念 ．
例 ４ 函数 极 限值悖 论＿ ． ２ ｊ 考 虑表达 式 ｌ ｉｘ， 变量 替换 Ｌ— ＋ 丌并 回顾 ｓｎ ｙ＋ ７ ＝ 一ｓ ｙ， ｉ ｓｎ 作 ａ ｒ ｒ ｉ（ ｒ ＝ ｉ ） ＝ ｎ 就得 到
一 、
ｌｍ ｉ ￣＝＝ ｌｍ ｓｎ（ ＋ 丌）一 一 ｌｍ ｉ ｙ ． ｉ ｓｎ， ＝ ｉ ’ ｉ ｙ ｉ ｓｎ
１ 联 系初 等 数 学 与 初 等 微 积 分 进 行 教 学
微 积 分理论 是 数学 分析 与高 等数 学教 学 的主体 ． 学 分析 不 同于 高 等 数学 的是 ， 已超 出“ 典 微 数 它 经 积 分” 的范 畴 ， 多 地关 注十 九世 纪微 积分 严格 化 的成 果 ， 至近 代分 析 学 的成 果 ． 更 甚 简言 之 ， 学分 析 研 数
一
是 难 以接受 微积 分概 念 的严 格数 学定 义 ， 如数列 极 限 的 ｅ 定义 、 － Ｎ 一致 连 续 的定 义 等 ， 学 习 过 在
程 中感 到极 大 的困难 ；
二 是对 已经学 过 的微积 分 中的相关 运算 缺乏 耐心 ， 没有 进一 步深入 探究 和学 习的动力 ．
为 了解 决上述 问题 ， 们在教 授相 关 内容 时 ， 我 首先 是尽 量 完整 清 晰地 给 出概 念 的具 体 背 景 ， 清 楚 讲
ｊ一 十 ¨
由于 ｌ ｎ ｉ ｓ ｘ＝ｌ ｓｎ ， 以得 到 ｌ ｎ ＝－ ｌ ｎ 进 而得 ｌ ｓｎ ＝０ 若 作变 量替 换 一 ＿ 一 ， ｍ ｉ ｉ ｉｙ 可 ｍ ｉ ｓ ｘ － ｉ ｓ ｍ ｉ ａ ｒ ｉ ｉ ｉ． ． ｍ ｖ ７ Ｉ Ｉ 、 ＂
ｒ 一 ： ｌ— 一 …
极 限．
例 １考 虑 的速度 和斜率 在匀 速运 动和直 线 的情 形 下 ， 其计 算是 简单 的除法 ， 但对 于“ 非匀速运 动 ” 和 “ 曲线” 其计 算就 是求 导数 ， ， 即求 函数增 量 与 自变 量增 量商 的极 限． 相应 地 ， 函数增 量可 以用求 微分 近 求 似 代替 ．
例 ２ 积 分 概 念 的 引 入 — — 曲边 梯 形 的 面 积 和 变 力 作 功 ¨ ． １ ］
例 ２考 虑 的面积 和功 在直边 形 和常力 的情形 下 ， 其计 算 是简 单 的加 法 与乘 法 ， 对 “ 但 曲边 形 ” “ 和 变 力” 的情 形 ， 其计 算就 是积 分．
另 一 方 面 ， ｓ ’ ＣＳ 一 １ 一 切 』 成 立 ， 是 就 有 １ ０ 有 ｉ 』＋ Ｏ ｎ 对 于 — ．
例 ３ 发 散级 数悖论 口． ］
Ｓ
． ．
一 十 十 ＿ 一十 十 而 … ’
】
］ ． ］ ． ］
这是 一个 常见 的几何 级 数 ， 袭 中学 数 学 中级 数 求 和 的一 个 技 巧 ， 以 考 虑 把 上 式 两 边 都 乘 以 ２ 就 沿 可 ，
△ ＋０凸
， 里△ 这 为 △ｔ Ｎ后 的位移 差． 时Ｉ 这里用极 限描述
的 是 △ｔ ０时 ， 均 速 度 趋 向 于 瞬 时 速 度 ． 一 平
同样在 讨论 切线 问题 时 ， 等数 学定 义为过 圆 的半径 端点 且 垂直 于 该半 径 的直 线 或 与 圆只 有一 个 初 交点 的直线 称 为 圆的切线 ， 这是 孤立 静止 的观 点 ， 并不 适用 于 所有 的曲线 ． 考 虑任 意 曲线 在 其 上任 它 要 意一 点处 的切线 需要 用 运动 的观 点考察 问题 ． 曲线上任 取一 动点 ， 在 连接 两点 的直线 即 为曲线 的割线 ， 当动点 沿 曲线 无 限接近定 点 时 ， 线 的极 限位 置 即为 曲线在该 点 的切线 ， 割 切线 的斜率 为运 动割线 斜率 的
并 利 用 ｓ （ 一 一Ｃ Ｓ ， 有 ｌ Ｏ． ｉ ） ＯＺ 则 ｎ ｉ ＣＳ ｍ Ｔ一０ 将 极 限 式 ｌ ｉｘ一 ０ ｌ Ｃ Ｓ —ｏ都 进 行 平 方 并 相 加 ， ． ｉ ｓ ｍ ｎ 和 ｉ Ｏ， ｍ Ｔ
＋ ’ ‘ 』 一
得 到
ｌｍ （ ｉ ＋ Ｃ 。 ）一 ０ ｉ ｓｎ ＯＳ ＋ ０ 一 ０．
１２ 联 系初等 微积 分 ， 用悖 论和 反例 进行教 学． ． 运
学生 在 中学里 已经初 步认 识 了微积 分最 重要 的几个 基本概 念 ， 学会 了初 步 的微 积分 算法． 入 大 并 进 学后 ， 们接触 到 “ 他 严格 意义 下 的微 积分 ” 经 常会产 生两 个 问题 ： ，