N
的增加值为y, 由力矩
M=N·(y 0+ y) 平衡得:
x
− EIy′′ = N ( y + y0 )
l/2
y
y
N
N
将初弯曲曲线代入 上式, 得:
EIy′′
+
N
⎜⎛ ⎝
y
+
v0
sin
πx
l
⎟⎞ ⎠
=
0
(1)
另外,由前述推导可知，N作用下的挠度的增加值
为y，也呈正弦曲线分布：
y
=
Ym
sin
πx
l
(2)
Ncr Ncr
因： k 2 =
N cr
= π2
EI ⎜⎛ 1 − β N cr ⎟⎞ l 2
⎝ GA ⎠
故，临界力 N cr：
N cr
=
π
2 EI l2
⋅ 1+
π
1 2 EI l2
⋅β
GA
临界应力 σ cr：
σ cr
=
N cr A
= π 2E ⋅
1
λ2
1
+
π
2 EA
λ2
⋅
β
GA
通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧 拉临界力和临界应力：
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于 M = N cr ⋅ y，得：
d 2 y = − N cr ⋅ y + βN cr ⋅ d 2 y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y ′′⎜⎜⎝⎛ 1 −
β N cr
GA
⎟⎟⎠⎞ +
N cr EI
⋅
y
=
0
令k 2 =
N cr
，则：
γ
=
ddyxE2 I=⎜⎝⎛
σ-ε曲线为非线 σ
dσ
性,σcr难以确定。 σcr
dε
l
历史上有两种 fp
Et
=
dσ dε
理论来解决该问题，
即：
x
E
dσ2
形心轴 中和轴
dσ1
σcr
(1)双模量理论 0 1
ε
y
Ncr,r
该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应
力(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模 量Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I − 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G − 材料弹性模量和剪变模 量；
β − 与截面形状有关的系数 。
Ncr
Ncr
因为：
d 2 y2 = β ⋅ d 2M
dx 2 GA dx 2
所以：
d 2 y = d 2 y1 + d 2 y2 = − M + β ⋅ d 2 M
中和轴
Ncr,r
假定:
l
△σ
A、达到临界力Ncr时杆件 挺直;
△σ
σcr,t
B、杆微弯时,轴心力增加
x
△N，其产生的平均压
应力与弯曲拉应力相等。
y
Ncr,r
所以应力、应变全截面增加，无退降区，切线模
量Et通用于全截面。由于△N较Ncr小的多，近似取Ncr 作为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式 中的E，即得该理论的临界力和临界应力：
( f )热扎等边角钢
2.残余应力影响下短柱的σ-ε曲线
以热扎H型钢短柱为例：
0.3fy
0.3fy 0.3fy
（A） （B）
σfy=0.7fy 0f.y7fy<σ<fy
σrc=0.3fy
0.3fy
（C）
fσy =fy
σ=N/A
fy C
B fp A
fy-σrc σrc
0
ε
显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为: f p = f y − σ rc
力 构
强度 （承载能力极限状态）
件 轴心受压构件 稳定
刚度 （正常使用极限状态）
6.2.1 强度计算（承载能力极限状态）
σ= N ≤f
An N—轴心拉力或压力设计值；
(6.2.2)
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
6.2.2 刚度计算（正常使用极限状态）
保证构件在运输、安装、使用时不会产生过 大变形。
σ rc − 截面中绝对值最大的残 余应力。
3. 残余应力对构件稳定承载力的影响
根据前述压杆屈曲理论，当 σ = N A ≤ f p = f y −σrc 或 λ ≥ λ p = π E f p 时，可采用欧拉公式计算临界应 力；
当 σ = N A > f p = f y −σrc 或 λ < λ p = π E f p 时，截 面出现塑性区，由切线模量理论知，柱屈曲时,截面 不出现卸载区，塑性区应力不变而变形增加,微弯时 截面的弹性区抵抗弯矩，因此,用截面弹性区的惯性 矩Ie代替全截面惯性矩I，即得柱的临界应力：
N cr
= π 2 EI
l2
= π 2 EA λ2
σ cr
=
π 2E λ2
上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定 律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：
σ cr
= π 2E λ2
≤
fp
或长细比 :
λ ≥ λp = π
E fP
2.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲
当σcr大于fp后
Ncr,r
对x − x轴屈曲时：
a’
b
c’
σrc
σrt
σ crx
=
π 2E λ2x
⋅
Iex Ix
=
π 2E λ2x
⋅ 2t(ηb)h2 4
2tbh2 4
=
π 2E λ2x
⋅η
b’
对y − y轴屈曲时：
σ cry
=
π λ2y
⋅
Iey Iy
=
π 2E λ2y
⋅ 2t(ηb)3 12
2tb3 12
= π2E λ2y
Ncr
= π 2 EIe
l2
= π 2 EI ⋅ Ie
l2 I
σ cr
=
π 2E λ2
⋅
Ie I
t
h1
仍以忽略腹板的热扎H型钢柱 为例，推求临界应力：
当σ>fp=fy-σrc时，截面出现塑 性区，应力分布如图。
柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴）
y
x
x
ηb
b
a
c
t
σ1
fy
因此，临界应力为：
⋅η3
t
显然，残余应力对弱轴的影响
y
要大于对强轴的影响（k<1）。 x
x
h
t
σ1
fy
为消掉参数k，有以下补充方程：
由△abc∽△a’b’c’得:
ηb
σ1 = ηb σrc +σrt b
b
即： σ1 =η(σrc +σrt )
a
c
a’
b
c’
σrc
由对x力−的x轴平屈衡曲可时得：截面平均应力:
σrt b’
σσccrrxx
(=或πλσ22xEcry⋅
)Ie=x Ix
2=bπtf2yE−⋅ λ2x
2ηt(ηbtb×)h02.54η=(σπrc2E+
2tbh22b4t λ2x
σ⋅ηrt
)
对y
−σyc轴ry =屈πλ曲22yE时⋅ I：Ieyy==fπyλ22−yEσ⋅ 2rct2(η2+tbbσ3)31rt21⋅2η=2
轴心受压构件的失稳形式分为：
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
4.1稳定问题的一般特点
4.1.1失稳的类别
（1）稳定分岔屈曲 （2）不稳定分岔屈曲 （3）跃越屈曲
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
λ = l0 < [λ ]
i
(6.2.4)
l 0 − 构件的计算长度； i = I − 截面的回转半径；
A
[λ ] − 构件的容许长细比，其 取值详见规范或教材。
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
6.3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
轴心受压构件的整体失稳—轴心受压构件受外力作用后， 当截面上的平均应力远低于钢材的屈服点时，常由于内力和外 力间不能保持平衡的稳定性，些微的扰动即足以使构件产生很 大的的弯曲变形，或扭转变形或又弯又扭而丧失承载能力，这 种现象称为丧失整体稳定性。
第 六 章
第六章 轴心受力构件
§6-1 轴心受力构件的应用和截面形式 §6-2 轴心受力构件的强度和刚度 §6-3 轴心受压构件的整体稳定 §6-4 实际轴心受压构件整体稳定的计算 §6-5 轴心受压构件的局部稳定 §6-6 实腹式轴心受压构件的截面设计 §6-7 格构式轴心受压构件 §6-8 冷弯薄壁型钢轴心受压构件的设计特点
Ncr
=
π
2Et I l02
σ cr
=
π 2Et λ2
(6.3.5)
初始缺陷对压杆稳定的影响
如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为：
σ
fy
fy=fp
σ cr fy
1.0
欧拉临界曲线