1.椭圆的定义 （1）满足条件： ①在平面内 ②与两个定点F1、F2的距离之_和__等于常数 ③常数大于_|_F_1_F_2|_ （2）焦点：两定点. （3）焦距：两__焦__点__间的距离.
【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆（请在括号内填
“是”或“否”）
（1）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于2的点
椭圆的几何性质及应用 【方法点睛】 1.椭圆几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭 圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这 些不等关系.
（2）设椭圆方程为
x
2
+ຫໍສະໝຸດ y2=1或
+y 2
=x 12 (a>b>0)，因为P到两
a2 b2
a2 b2
焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为
过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以
（2c)2=52-32=16，所以c2=4，
因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：
x
2
+
y=2 1或
+y 2
=x 12 .
16 12
16 12
【反思·感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常 联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于 2a求解； 2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先 求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点 的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解； ⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形， 无论哪种情形，始终有a>b>0.
x2 25
+ y 2 =1的两个焦点，过F1
9
的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____；
（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的
距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个
焦点，求椭圆的方程.
【解题指南】（1）注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,
2.椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程
范围
性
对称性
质
顶点
轴
y
B2
b
a
A1 F1 o c F2 A2
x
B1
x2 a2
y2 b2
1 （a>b>0）
A2 y
a F2
c
B1
b
o F1
B2
x
A1
y2 x2 a2 b2 1
（a>b>0）
-a ≤x ≤ a
-b ≤x ≤b
-b ≤y ≤b
-a ≤y ≤ a 对称轴：坐标轴
的轨迹
()
（2）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于4的点
的轨迹
()
（3）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于6的点
的轨迹
()
【解析】由椭圆的定义可知:（1）距离之和小于|AB|，所以点 的轨迹不存在；（2）距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B 为端点的一条线段；（3）符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为6的椭圆. 答案：（1）否 （2）否 （3）是
2
m =2 ，1 解得m= . 8
m
2
3
答案： 8
3
（3）已知椭圆的短轴长为6，离心率为 4 ，则椭圆的一个焦点
5
到长轴端点的距离为_______.
【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 ①
又因为离心率为 4 ，所以 =c 4
5
a5
又因为a2=b2+c2
② ③
解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.
A1
B2
x
F1F2 2c
e c 0,1
a
a2 b2c2
【即时应用】（1）思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程
度有怎样的关系?
提示：因为离心率e= c = a 2 =b 2
a
a
，1 ( b ) 2
a
所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于
0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆
且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；（2）可先
设椭圆的方程x 2为
y
2
+
=1或y 2
+x 2
=1(a>b>0)，再根据题设条
a2 b2
a2 b2
件求出相应的系数值即可.
【规范解答】（1）由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12， 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案：8
第六节 椭圆
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三年26考 高考指数:★★★★★ 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质； 2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用； 3.理解数形结合的思想.
1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与 椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点； 2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭 圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题； 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现.
所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
答案：9或1
椭圆的定义、标准方程 【方法点睛】 1.椭圆定义的应用 利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件； 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点 三角形”中的数量关系.
2.椭圆的标准方程
（1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为 x 2 + y 2 =1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方
对称中心：原点
A1(-a，0) A2（a，0）
A1(0，-a) A2（0，a）
B1(0，-b) B2（0，b）
B1(-b，0) B2（b，0）
长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
图形
焦距
性
质
离心率
a、b、c 的关系
y
B2
b
a
A1 F1 o c F2 A2
x
B1
A2 y
a F2
c
B1
bo F1
的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为
圆.
（2）已知椭圆 x 2 + y 2 =1的焦点在y轴上，若椭圆的离心率
2m
为 1 ，则m的值为_______.
2
【解析】
x
2
+
y
2
=1的焦点在y轴上，所以a2=m,
2m
b2=2，离心率为e=c
=a
2
b
2
=
m，又2 离心率为 ，所1 以
a
a
m
a2 b2
程为 y 2 + x 2 =1(a>b>0)；
a2 b2
（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程 可设为 x 2 + y 2 =1(m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的
mn
计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时
更简便.
【例1】（1）已知F1、F2为椭圆