9
大学物理学
2.
力
F
对转轴
z 的力矩：
M z r F
大小：Mz rF sin Fd
方向：可用正、负号表示。
第三章 刚体的定轴转动
z Байду номын сангаасM z Fz Od r
F F
3.
力矩的合成
M (ri Fi )
矢量和
i
对于固定转轴 Mz (Fidi ) 代数和
i
10
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第三章 刚体的定轴转动
平动物体--质点--牛顿定律 线量与角量的关系 转动物体--刚体--转动定律 联动关系
13
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.1 已知定滑轮的质量为 m ，半径
为 R ，若滑轮质量均匀分布，可求得
滑轮的转动惯量为 J 1 mR 2。通过一
轻绳在定滑轮的两边分2别挂上质量为
m
m1 和 m2 的两个物体( m1 > m2 )。设绳 不能伸长，绳与滑轮之间无相对滑动，m2
mR 2
刚体的转动惯量与刚体的质量分布（几何形状） 有关。
21
大学物理学
讨论
第三章 刚体的定轴转动
★刚体转动惯量大小的决定因素： ①质量
转动惯量与质量成正比。
②质量分布（几何形状）
质量越远离转轴分布，转动惯量越大。
③转轴的位置
对于穿过质心的转轴，其转动惯量最小。
★转动惯量是标量，且具有可加性。
22
可绕固定点 O 在竖直平面内转动，现将棒从水
平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平成θ角
时中心点 C 和端点 A 的速率。
解：棒只受重力矩作用
M mg l cos
2
重力矩做功
C
C
mg A
W Md mg l sin
0
2
A
28
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
由动能定理 W mg l sin 1 J 2 0
二、刚体定轴转动的转动定律
z
把刚体看成质点系，由
牛顿第二 定律 ，对质点 i 有 Mzi
Fi fi miai
O
Fit fit miait mi ri
f i ri
Fi t
Fi
mi
ri Fit ri fit ( miri 2 )
i
i
i
合内力矩： ri fit 0
i
合外力矩： M ri Fit ( miri2 ) J
及伸长。 解：分别对滑轮和物体受力分析
对滑轮做功
W1 TR
Th
1 2
J 2
⑴
对物体做功
W2
(m2 g
T
)h
1 2
m2
2
⑵
m1 T
h T
m2
m2 g
30
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
⑴+⑵得，总功
m2
gh
1 2
m2
2
1 2
J
2
且有
J
1 2
m1 R 2
R
解得 2 m2 gh
m1 2m2
系统机械能 守恒吗?
17
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.2 求质量为 m ，长为 l 的均匀细棒对下面
两种给定的转轴的转动惯量。⑴ 转轴通过棒的
中心并与棒垂直。⑵ 转轴通过棒的一端并与棒
垂直。
z
解：在 r 处取 dr 小段质元
dr
dm m dr
dJ
l r 2dm
m
r 2dr
l 2
O
r lr
2
l
⑴ 对中心垂直轴
质量离散分布
r 2dm
m
质量连续分布
12
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
★转动惯量是描述刚体定轴转动时，其转动惯 性大小的物理量。转动惯量越大，刚体的转 动状态越难以改变。
★刚的体F定 轴m a转 ，动地中位的相M当。J ，与质点力学中
●解题基本方法（隔离法） 明确对象→隔离物体→受力分析→建坐标系→ 列方程→解方程→结果讨论
沿直径
1 mR 2 4
沿几何轴
1 2
m( R12
R2 2
)
球体
沿直径
2 mR 2 球壳 沿直径 5
2 mR 2
3
23
大学物理学
四、平行轴定理
第三章 刚体的定轴转动
z zC
J JC md 2
d
JC：刚体对质心轴 zC 的转动惯量
J：刚体对平行轴 z 的转动惯量
例如：细棒的转动惯量
z
J J
C
1 ml 2 12
刚体平动→质点运动
4
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
2. 刚体的转动
刚体中所有点都绕同一条
直线为转轴做圆周运动。
若转轴的位置和方向在所选的参考系中是 固定的，则称为刚体的定轴转动。（本章的研 究对象）
5
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3. 刚体的平面平行运动 刚体中任意一点始终
在某一固定平面内运动。
第三章 刚体的定轴转动
dt dt dt
M dL
刚体绕定轴转动时，作用于刚体 的合外力矩 M ，等于刚体绕该轴
dt 的角动量 L 随时间的变化率。
——刚体绕定轴转动的角动量定理（微分式）
36
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
M t2 dt t1
d L2 L
L1
L2
L1
刚体绕定轴转动，其所受的冲量矩等于刚体
角动量的增量。
T2
m2 ( g
a2 )
(4m1 m)m2 g (2m1 2m2 m)
16
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三、刚体对定轴的转动惯量
第三章 刚体的定轴转动
1. 质量离散分布（质点系）
z
r1 r2
J (miri 2 )
i
m1 O m2
J m1r12 m2r22
2. 质量连续分布
z
J r 2dm m
m O r dm
解：⑴ 在环上取 dm 质元
dJ R2dm
J R2dm mR 2 m
m dm
R
O
20
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第三章 刚体的定轴转动
⑵ 取半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，则
dm
m
R2
2 rd r
2m R2
rdr
m
R r dr O
dJ
r 2dm
2m R2
r 3dr
J
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
J
l
2 l
2
m l
r 2dr
1 12
ml
2
18
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⑵ 对端点垂直轴
J l m r 2dr 1 ml 2
0l
3
第三章 刚体的定轴转动
z
dr
O
r
r l
刚体的转动惯量与刚体的质量和转轴位置有关。
19
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第三章 刚体的定轴转动
例3.3 试求：⑴ 质量为 m ，半径为 R 的均匀 细圆环对通过中心并与环面垂直的转轴的转动 惯量。⑵ 质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘 对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。
将转动定律应用到力矩做功公式中，有
W 2 Md 2J d
1
1
2J d d
1 dt
2J
1
d
1 2
J22
1 2
J12
W
1 2
J
2 2
1 2
J12
合外力矩对定轴转 动刚体所做的功等 于刚体转动动能的
增量。
——刚体定轴转动的动能定理 27
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第三章 刚体的定轴转动
例3.4 一根质量为 m ，长为 l 的均匀细棒OA，
刚体的内力不做功。 25
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第三章 刚体的定轴转动
二、刚体定轴转动的转动动能
把刚体看成质点系，则动能为
Ek
i
(
1 2
mi
i
2
)
i
(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2
i
(miri 2 ) 2
刚体定轴转动的 转动动能
Ek
1 2
J 2
26
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第三章 刚体的定轴转动
三、刚体定轴转动的动能定理
i
i
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第三章 刚体的定轴转动
M J
刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所 受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反 比。——刚体的定轴转动定律（转动定律）
★外力矩 M 是使刚体转动状态发生变化即产生
角加速度 的原因。M 与 同向，它们是
瞬时关系。
★转动惯量：J
i
(mi ri 2 )
T1 R
T2 R
J
1 2
mR 2
T2 T2
a2
T1 m2 T1
m2g m1 a1
m1g
a1 a2 R
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第三章 刚体的定轴转动
解得 ⑴ (m1 m2 )g
(m1
m2
m 2
)R
⑵
a1
a2
R
(m1 m2 )g
(m1
m2
m 2
)
⑶
T1
m1( g
a1 )
(4m2 m)m1g (2m1 2m2 m)
dt
加速度与角加速度： at