第6章 异质结和纳米结构1、试讨论用窄禁带n 型半导体和宽禁带p 型半导体构成的反型异质结中的能带弯曲情况，画出能带图。

答：2、仿照第4章对pn 同质结的讨论方法，完成突变pn 异质结接触电势差表达式（6-5）和势垒区宽度表达式（6-7）的推导过程。

解：设p 型和n 型半导体中的杂质都是均匀分布的，其浓度分别为N A1和N D2。

势垒区的正负空间电荷去的宽度分别为(x 0-x 1)=d 1，(x 2-x 0)=d 2。

取x=x 0为交界面，则两边势垒区中的电荷密度可以写成⎭⎬⎫-=<<-=<<22201101)(,)(,D A qN x x x x qN x x x x ρρ 势垒区总宽度为211002)()(d d x x x x X D +=-+-=势垒区的正负电荷总量相等，即Q x x qN x x qN D A =-=-)()(022101Q 就是势垒区中单位面积上的空间电荷数值。

因此上式可以简化为120210)()(A D N N x x x x =-- 设V(x)代表势垒区中x 点得电势，则突变反型异质结交界面两边的泊松方程分别为)()(0111212x x x qN dx x V d A <<=ε )()(2022222x x x qN dx x V d D <<=ε ε1ε2分别为p 型及n 型半导体的介电常数。

对以上两式分别积分一次得)()(011111x x x C x qN dx x dV A <<+=ε )()(202222x x x C x qN dx x dV D <<+=ε C 1‘C 2是积分常数，有边界条件决定。

因势垒区外是电中性的，电场集中在势垒区内，故边界条件为0)(1111=-==x x dx dV x E0)(2222=-==x x dx dV x E注意，在交接面处的电场并不连续，但电位移连续[即)()(022011x E x E εε=]。

由边界条件定出22221111,εεx qN C x qN C D A =-=将C 1C 2带入上式中得 1111)()(εx x qN dx x dV A -= 2222)()(εx x qN dx x dV D -= 对以上两个公式积分得111112112)(D x x qN x qN x V A A +-=εε 222222222)(D x x qN x qN x V D D ++-=εε 在热平衡条件下，异质结的接触电势差V D 为)()(1122x V x V V D -=而V D 在交界面p 型半导体一侧的电势降为)()(11011x V x V V D -=而V D 在交界面n 型半导体一侧的电势降为)()(02222x V x V V D -=在交接面处，电势连续变化，即)()(0201x V x V =，故21D D D V V V +=令V 1(x 1)=0，则V D =V 2(x 2)，并带入上面的公式可得22222121112,2εεx qN V D x qN D D D A -== 因此，降D 1，D 2分别带入得121112)()(εx x qN x V A -= 222222)()(εx x qN V x V D D --= 由)()(0201x V x V =，即得接触电势差V D 为22022121012)(2)(εεx x qN x x qN V D A D -+-= 而0121112101122)(εεεx qN x x qN V A A D =-=，022222202222)(εεεx qN x x qN V D D D =-= 进一步化简可知21210)(D A D D N N X N x x +=-；21102)(D A D A N N X N x x +=- 将上述两式带入V D 公式得 ])()()[2(22112122121221D A D A D D A D D A D N N X N N N N X N N qV +++=εεεε 进一步可以求得势垒区宽度X D 为2112212122121])()(2[A D D A D D A D N N N qN V N N X εεεε++= 3、仿照第4章对pn 同质结的讨论方法，完成突变pn 异质结微分势垒比电容表达式（6-8）的推导过程。

解：势垒区总宽度为211002)()(d d x x x x X D +=-+-= (1)势垒区的正负电荷总量相等，即Q x x qN x x qN D A =-=-)()(022101 (2)由(1),(2)式可得][2121D A D D A N N qX N N Q += (3) 势垒区宽度X D 为 2112212122121])()(2[A D D A D D A D N N N qN V N N X εεεε++= (4) 将(4)带入(3)式可得2122112121])(2[D A D D A N N V V N qN Q εεεε+-= (5) 由微分电容定义C=dQ/dV ,即可求得单位面积势垒电容和外加电压的关系为2122112121]))((2[V V N N N qN dV dQ C D D A D A TS -+==εεεε 4、已知纤锌矿结构GaN 和AlN 的电子亲和能分别为4.1eV 和0.6eV ，禁带宽度分别为3.39eV 和6.2eV 。

设固溶体Al x Ga 1-x N 的电子亲和能和禁带宽度随组分比x 线性变化，试按安德森定则求nn-GaN/Al 0.2Ga 0.8N 同型异质结的∆E C 和∆E V ，并画出能带示意图。

解：导带底在界面处的突变△E C 为两种材料的电子亲和能之差，即：21χχ-=∆C E价带顶的突变自然就是两种材料禁带宽度之差的剩余部分，即)()(2121χχ---=∆g g V E E E固溶体Al x Ga 1-x N 的禁带宽度Eg AlGaN (X)由下式计算)1(0.1)1()(x x Eg x xEg x Eg GaN AlN AlGaN ---+=代入GaN 和AlN 禁带宽度3.39eV 和6.2eV ，计算可得792.38.02.00.139.38.02.62.0)(=⨯⨯-⨯+⨯=x Eg AlGaN固溶体Al x Ga 1-x N 的电子亲和能随组分比x 线性变化GaN AlN AlGaN x x χχχ)1(-+=代入数据可得4.31.48.06.02.0=⨯+⨯=AlGaN χ因此nn-GaN/Al 0.2Ga 0.8N 同型异质结的∆E C 为eV E C 7.04.31.421=-=-=∆χχ因此nn-GaN/Al 0.2Ga 0.8N 同型异质结的∆E V 为eV E E E g g V 102.1)()(2121-=---=∆χχ5、用安德森定则计算一个用n-Ge 与p-GaAs 形成的异质结在室温下的△E C ，△E V 和V D 。

已知Ge 和GaAs 的电子亲和能分别为4.13eV 和4.07eV ，掺杂浓度均为1016cm -3，Ge 在300K 时的n i =2.4×1013cm -3。

解：查表可知，GaAs 的禁带宽度为1.43eV ，Ge 的禁带宽度为0.66eV根据安德森定则异质结在室温下的△E C 为eVE C 06.007.413.421=-=-=∆χχ异质结在室温下的△E V 为eV E E E g g V 83.0)()(2121-=---=∆χχ查表可知，掺杂浓度均为1016cm -3时n-Ge 与p-GaAs 的功函数分别为4.31eV 和5.32eV 。

代入公式可得V DeV W W V Ge GaAs D 01.131.432.5=-=-=6、对用受主浓度为1×1015cm -3的p-Ge 和施主浓度为1×1014cm -3的n-Si 构成反型异质结，求其室温热平衡状态下的接触电势差V D 和势垒区总宽度X 及其在两边的分配V D1、X 1和V D2、X 2，并据此画出能带图。

已知Ge 和Si 的电子亲和能分别为4.13eV 和4.05eV ，室温下杂质完全电离。

（我计算了一个结果，感觉不太对，就没计算其它结果）解：查表可知Ge 和Si 的功函数分别为4.57eV 和4.37eV由接触电势差公式可知V q W W V D 2.0106.137.457.41921=⨯-=-=- 由势垒区宽度公式可知 2/1212021])()(2[D A D A D D A D N N N qN V N N X εεεεε++= 代入数据可得X D =1.72×10-2cm结左边的空间电荷区宽度为2/1210211])(2[D A A D D N N qN V N X εεεεε+= 代入数据可得X 1=交界面p 型半导体一侧的电势降为 210112X qN V A D εε=代入数据可得V D1=结右边的空间电荷区宽度为 2/1210212])(2[D A D D A N N qN V N X εεεεε+= 代入数据可得X 2=交界面n 型半导体一侧的电势降为 220222X qN V D D εε= 代入数据可得V D2=7、大致绘出Al 0.3Ga 0.7As/GaAs 突变异质结在下列情况下的能带图：(a)n +-AlGaAs 与本征GaAs;(b)n +-AlGaAs 与p-GaAs ，(c)p +-AlGaAs 与n +-GaAs 。

假定Al 0.3Ga 0.7As 的E g = 1.85eV ，△E C 等于△E g 的2/3。

解：8、GaAs 和GaP 的晶格常数分别为0.56531nm 和0.54505nm ，试计算以GaAs 为衬底外延GaP 薄膜时的晶格失配率和GaP 应变膜的临界厚度。

解：根据晶格失配率定义 失陪率%6.354505.056531.0)54505.056531.0(2)(22121=+-=+-=a a a a 临界厚度 es e e C a a a a t -=∆≈222=7.33179、接上题，计算GaAs 衬底为（100）面时，GaP/GaAs 异质结界面的悬挂键密度。

解：32221212121222))((11aa a a a a a a a a N S ∆≈+-=-=∆= 0.2368 10、对以n 型Ga 0.5In 0.5P 和p 型GaP 构成的晶体管发射结，当GaP 的受主浓度为2×1019cm -3，Ga 0.5In 0.5P 的施主浓度为4×1017cm -3时，求其室温下的注入比和发射效率。