教学单元教案设计
教学单元讲稿
一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则
2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称
第三节 行列式的性质 三、课程导入
复习导入
四、分析思路
首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性
质。

五、讲授内容
第三节 行列式的性质
对换
对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2 ：n 阶行列式为：
.)1(211
21
2322211312
112
1
n p p p t n n n n
a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中t 为n p p p Λ21的逆序数.
（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为
.)1(1
2
121
11
21
2322211312
11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.
行列式的性质
转置行列式的定义
记 nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ21
2222112111
= T D =nn
n
n
n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
212
221212111
(D ')
行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）
一、n 阶行列式的性质
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:
d
c b a D =
d
b c
a D T =
以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数
k 乘以该行列式.
推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若 ()()nn
ni
ni n n n
i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M M
M M ΛΛΛΛ
'+'+'+=
21
222222111
112
11
)( 则 nn ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM
ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=
+
nn
ni
n n n
i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ
M M M M Λ
ΛΛΛ
'''2122
22211112
11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、n 阶行列式的计算：
例1. 计算2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D .
解： 2
1
6
4
72954
1732
152
-----=
D 3
1c c ↔==2
4
6
1
75924
3712
251
------
1
21
4132r r r r r r +--=0
2
1
31106
120225
1----
4
24
32r r r r ++=0
2
10330063002
2
5
1---42r r ↔==93
00
030002102251-=--.
例2. a
b b b b a b b b b a b b b b a D =
4
321r r r r +++=
a b b
b
b a b b b b a b b
a b a b a b a 3333++++
b
a r 311+⨯=()a
b b b b
a b b
b b a b
b a 11113+1
4
,3,2br r i i -==()b
a b a b a b a ---+0
00000
11113
3(3)()a b a b =+-.
(推广至n 阶，总结一般方法)
例3. 证明：222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++222111
2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2
2222111115
p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列
性质2222211111
p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2
2
22
1111
r r q p r r q p r r q p +++=2
22
2
1111
p r r q p r r q p r r q ++++2
2
2
111
r q p r q p r q p =2
2
2
111
p r q p r q p r q + 2
2
2
111
2r q p r q p r q p =. 例4. nn
n n nk n k kk
k k b b b b c c c c a a a a D Λ
M M ΛΛ
M M ΛΛM M
Λ11111
1111
1110=，
,)det(11111kk
k k
ij a a a a a D Λ
M M
Λ
== .)det(11112nn
n n
ij b b b b b D Λ
M M
Λ
== 证明： 21D D D =.。