基于蔡氏电路的混沌电路分析唐永洪，付云峰，王德玉（哈尔滨工业大学能源科学与工程学院飞行器动力工程，哈尔滨，150001）摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究，并运用multisim10.0软件进行仿真。

测定有源非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。

同时分析了电感值为15mH下出现的变异双二倍周期、变异单二倍周期、对称倍周期、死区等低电感参数下的新特性，以及典型蔡氏电路混沌现象随电感变化的关系，并简单描述了混沌电路在保密通信、自动控制等领域的应用。

关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子引言混沌是本世纪最重要的科学发现之一，被誉为是继相对论和量子力学后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代[1]。

混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性，在非线性科学、信息科学、保密通信、混沌密码以及其他工程领域获得了广泛的应用，已成为非线性电路与系统的一个热点课［2］。

非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，在非线性电路中能够得到很好的混沌实验结果，蔡氏混沌电路[3-5]就是一个典型的混沌电路。

我们在模拟蔡氏混沌电路观察混沌现象时，由于实验的条件不能得到精确控制，而混沌电路又对初始条件具有高度的敏感性，以至于实验现象不明显。

因此本文采用multisim10.0对电路进行仿真[6]，在理想条件观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。

1混沌概念及其相关特征1.1混沌和吸引子的定义混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。

（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。

（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。

遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。

混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。

若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。

吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。

系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。

奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。

奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。

它具有自相似性,同时具有分形结构。

奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。

奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。

1.2混沌的基本特征混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。

因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。

二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。

混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。

2蔡氏电路与非线性负电阻的实现2.1蔡氏电路的构成蔡氏电路是一个典型的混沌电路。

蔡氏电路实验电路图如图1所示。

电路中的电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路。

R 是一个有源非线性负电阻元件，电感L和电容C2组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R和电容C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。

图1.蔡氏电路图图2.有源非线性负电阻伏安特性曲线蔡氏电路的状态方程式为：C1dUc1/dt=G（Uc2－Uc1）－gUc1C2dUc2/dt=G(Uc1－Uc2)+i LLdi L/dt= －Uc2式中U C1,U C2分别为电容C1,C2上的电压；i l 为电感L上的电流，G=1/R0为电导；g为R 的伏安特性函数。

当R为线性电阻时，g为常数，电路为一般振荡电路，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R为非线性负电阻时，其伏安特性如图2，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，调节G的值就会观察到不同的混沌现象。

2.2有源非线性负电阻的实现非线性负电阻的实现是混沌电路的关键，蔡氏混沌电路中采用两个运算放大器（型号为TL082CD）和六个配置电阻来实现。

电路图如图3。

图3.有源非线性负电阻的实现电路参数：R1=3.3kΩ，R2=22kΩ,R3=22kΩ,R4=2.2kΩ,R5=220Ω,R6=220Ω，V1=15V,V2=15V。

2.3有源非线性负电阻的伏安特性测定有源非线性负电阻的伏安特性，有两种方法：一种是逐步改变电源电压（-12V 至+12V），利用电压表、电流表测量负电阻两端的伏安特性；另一种是利用IV分析仪（自提供可变电源），自动测量电路的伏安特性，并显示图形。

在这里，我们采用第二种方法。

实验电路图如图4，有缘非线性负电阻伏安特性曲线如。

图4.IV分析仪测量有源非线性负电阻伏安特性电路图图5. 有源非线性负电阻伏安特性曲线3混沌电路实验特性选取在L=15mH条件下分析混沌电路特性，实验电路图如图6。

电路参数：L=15mH，C1=0.01uF，C2=0.1uF，R7为3kΩ可变电阻。

通过模拟实验可以看出，随着R7阻值的减小，将依次出现以下混沌现象，参见图7：单吸引子（R7=2000Ω）：电路接通，振荡电路工作，引发出单吸引子。

此时R7两端的电压Uc1最终趋近于一个固定值，Uc2=0，振荡电路趋近于稳定状态（混沌吸引子中的点状态）。

图6.典型蔡氏混沌电路图N倍周期（N=1，2，3，4，5，6……，如一倍周期R7=1850Ω；二倍周期R7=1780Ω）：逐渐减小电阻R7，将出现倍周期分岔，倍周期最终趋近于稳定极限环状态，环数为N值。

奇异（怪）吸引子（R7=1700Ω）：奇异吸引子，包括单漩涡混沌吸引子和双漩涡混沌吸引子，奇异吸引子带有明显的混沌特性，即分数维结构，阵发性，不稳定性（对初始条件的敏感性）。

从Uc1-Uc2图上可以看出，单漩涡混沌吸引子具有一个不稳定的中心，所有的状态均围绕这个中心旋转、靠近，但是始终无法到达中心点。

双漩涡混沌吸引子则具有两个旋转中心。

一次引发混沌吸引子状态，总是先从外围开始，围绕旋转中心收缩，意图无限靠近旋转中心，使之达到稳定状态，但是在某一个状态中，又突然脱离收缩趋势，继续在在最大状态与最小状态的范围内做不确定的运行，且具有明显的边界，即进入奇异吸引子状态。

任何一个微小的扰动（初始状态改变），都可能引起本质的改变。

而它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。

表现出既吸引又排斥的混沌状态。

极限环（R7≤1290Ω）：该状态是由双吸引子转变而成，电感L越小，转变过程越明显。

最终达到一个极限状态，即为极限环。

极限环类似于一倍周期，同一倍周期一样具有一个稳定的状态。

与一倍周期不同的是，极限环有明显的拐点，而一倍周期具有连续性。

没有突变的过程。

一般来讲，蔡氏电路的电感L选择范围为17mH~23mH之间，在这个范围内能明显的观察到以上各类混沌状态。

而我们通过模拟研究发现，对于高于L 高于23mH及低于17mH的蔡氏混沌电路，还有一些比较奇特的状态。

以L=15mH时的蔡氏电路为例。

当R7=1380Ω时，出现由极限双漩涡混沌吸引子变异而来的双向二周期稳定状态，笔者称之为变异双二倍周期该状态下能有稳定的二周期性，如图7；同时也保留了双吸引子和极限环的边界轮廓特性。

在变异双二倍周期之后，继续减小R7的阻值，会观察到由单漩涡吸引子演变而来的变异单二倍周期。

继续减小，会依次出现稳定的六倍、四倍、二倍、一倍周期，这些稳定的倍周期状态，与高阻值时的倍周期状态几乎一致，如同状态与阻值成对称分布一样。

在观察低阻值下的二倍周期、一倍周期引发过程，可以看到，有一个明显的突变过程。

在某一时刻，Uc2突然升高，然后短时间内达到稳定状态，开始成周期性分布。

R7=2000Ω单吸引子，趋近于点R7=1850Ω一倍周期（稳定极限环，下同）R7=1780Ω二倍周期二倍周期的波形（Vc2-t图，下同）R7=1700Ω奇异吸引子R7=1650Ω双吸引子R7=1650Ω双吸引子波形图R7=1400Ω极限双吸引子R7=1380Ω极限双吸引子演变的变异双二倍周期变异双二倍周期波形图奇异吸引子演变的变异单二倍周期变异单二倍周期波形图R7=1350Ω六倍周期六倍周期波形图R7=1345Ω四倍周期四倍周期波形图R7=1341.134Ω二四倍周期分界二四倍周期分界波形图二倍周期二倍周期波形图R7=1330Ω一倍周期一倍周期波形图，从无到有突变R7=1300Ω死区，截止点R7=1290Ω极限环图7：L=15mH条件下的混沌特性此外，在R7=1300Ω时，会存在一个死区，即此时的Uc1、Uc2几乎为零，图8所示。

对于高电感的电路，在此阻值时，没有死区存在，但是引发的极限环具有明显的延迟。

低电感时，当阻值跳过1300欧的临界点时，出现常规的极限环，此时与任何混沌电路的极限环一致。

L=17mH ，R7=1.3k Ω，t=14.394ms时突变L=16mH，R7=1.3kΩ，t=38.015ms时突变L=15mH，R7=1.3kΩ，死区L=10mH，R7=1.3kΩ，死区图8.低电感参数下的突变与死区L=25mH，R7=2.15kΩ，含边界二倍周期R7=2.12kΩ，含边界双吸引子图9.高电感参数下的边界化现象对比不同电感L下的混沌现象。

可以看出，对于同一阻值R7时，随着电感值L的增加，混沌现象提前，图10所示。