留数在物理学中的应用摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。

本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。

关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导目录第一章 留数..........................................3 1.1 引言 1.2 留数的定义 1.3 留数定理1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展第二章 留数定理在电磁学中的应用.........................6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用第三章 留数定理在物理学其他领域的应用.......................15 3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分dx xx⎰∞sin 中的 3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分dx dx x x ⎰⎰∞∞22cos ,sin 中的应用3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的⎰∞->0),0(cos 2为任意实数b a bxdx x ea积分中的应用第四章 结语 (18)参考文献 (19)第一章 留数]1[1.1 引言留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.1.2 留数的定义如果函数)(z f 在z 0的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理0)(=⎰dz z f c（1）其中C 为z 0邻域内的任意一条简单闭合曲线.但是如果z 0是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在z 0的某个去心邻域内，并包围点，则积分⎰cdz z f )(的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 ⎰cdz z f )(＝ic π21- （2）我们把（留下的）这个积分值除以2πｉ后所得的数为)(z f 在0z 的留数,记作Res ]),([0z z f ，即Res ]),([0z z f =⎰cdz z f i )(21π （3） 从而有Res ]),([0z z f =c 1- （4） 此处的c 1-是函数)(z f 通过洛朗级数展开的第负一次项系数.1.3 留数定理定理一 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇1z ，2z ，...，n z 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ⎰cdz z f )(=2πi∑=nk 1]),([k z z f （5）利用这个定理，求沿封闭曲线C 的积分，就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.定理二 如果函数)(z f 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.1.4 留数求法及一般规则I 如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么 Res ]),([0z z f =0，以为此时)(z f 在0z 的展开式是泰勒展开式，所以c 1-=0II 如果0z 是本性奇点，那就往往只能把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求c1-.III 在0z 是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果0z 为)(z f 的一级极点，那么Res ]),([0z z f =lim 0z z →（z-0z ）)(z f （6）规则二 如果0z 为)(z f 的m 级极点，那么Res ]),([0z z f ={})()(lim 0)!1(1110z f z z dzd mm m z z m ---→- （7）规则三 设)(z f =)()(z Q z P ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果P(z)≠0，Q （z ）=0，Q '(z)≠0，那么0z 为)(z f 的一级极点，而Res ]),([0z z f =)(')(z Q z P （8） 规则四 ]0,1)1([Re ]),([Re 2zz f s z f s ⋅-=∞ （9）1.5 留数定理的拓展对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及． 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出． 当被积函数满足一定的条件]2[，即区域D 的境界线为C ，函数 )(z f 在D 内解析且在C 上连续并满足Höl der 条件: a z z K z f z f |||)()(|2121-≤-，(0≤α＜1 ) ，其中K 、α 都是实常数，1z 、2z 为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式:)(),()(000C z z if dz z z z f ∈=-⎰π (10) 鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 )(z f 在闭曲线l 所围的区域D 上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为∑∑⎰+=内上l l z f R i z f R i dz z f )(es )(es 2)(ππ （11）经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．第二章 留数定理在电磁学中的应用]3[2.1 安培环路定理及其与留数定理的区别电磁学中安培环路定理的表述：磁感应强度B 沿任何闭合琦璐L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 u 0倍.即⎰∑==⋅L a k k I u l d B 1（12）其中电流I 的正负规定如下；当穿过回路L 的电流方向与回路L 的环路方向服从右手法则时，I>O ，反之，I<O.该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理．但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.(12)式和(5)式的左边都是沿着某一闭合回路的线积分，面其右边又都是表示某些标量的代数和．而这些量都直接同方程左边的函数有着某种内在的联系.从以上的分析我们能否得出；直接利用复变函数的方法导出电磁学中的安培环路定理．而不要直接计算线积分？ 回答是肯定的.2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导我们知道留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度B是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此我们考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图1所示.图1 无限长截流导线周围空间的磁场分布设无限长载流导体中的电流为I ，电流的方向指向纸面的外部．由电磁学知，空间的磁感应强度B为202/r r I u B π= （13） 其中r 为极径。

在直角坐标系中B 可以写成分量形式，如下： 2202y x yI u B x +⋅-=π 2202y x xI u B y +⋅=π （14） y B x B B y x+=其中x 和y分别为x 轴和y 轴的单位矢量.我们可以构造一个下面的复变量来代替（14）式.x y iB B B +=~（15）函数x B 和y B 为满足柯希—— 里曼方程的解析函数．于是B可以改写成如下形式：x y iB B B +=~)(2220y x iyx I u --=π z I u π20= （16）设回路中有n 个电流源n I I I 21,通过.如图2所示,在C 内除去n I I I 21,点外的所有区域上)(z B 是解析的.对于这个n 个点分别用回路n C C C 21,包围，则按照按照柯希—— 里曼定理有；021=⋅--⋅-⋅-⋅⎰⎰⎰⎰dz B dz B dz B dz B nc c c c（17）图2 回路C 中有n 个电流源而根据留数定理有⎰===⋅cz I iu z sB i dz B 00|)(Re 2π(18)又⎰⎰+=⋅ccy x dy B dx B l d B )(⎰⎰⎰++-=++ccy x x y cx y dy B dx B i dy B dx B idy dx iB B )()()()( （19）考虑到(17)式和（18 )式，则可得0)(=-⎰cx y dy B dx B （20）和 ⎰⎰⋅==+ccy x l d B I u dy B dx B0)( （21）以上是我们讨论回路中只有一个电流源的情况，下面我们将导出回路中包含有n 个电流源的情况：k cI iu dz B 0=⋅⎰于是 ∑⎰==⋅n k k zI iu dz B 1即 ∑⎰==⋅n k k cI u dz B 1（22）到此为止，我们利用复变函数的方法推导出了电磁学中的安培环路定理，其方法比较简便，避免了一些教材中的复杂推导.从以上的推导过程我们可以看出．只要选择合适的复数来表示电磁学中的电学量和磁学量，便可以利用留数定理推导出电磁学中的一些有用结论.在前面的推导过程中，利用复数x y iB B B +=~和留数定理得到方程(20)式和(21)式.(21)式即为安培环路定理.但方程(21)式我们还没有给出它们的物理意义.方程(20)式可以改写成⎰⨯cl d B=0对于二维情况⎰⨯cl d B表示的是一个“二维通量 ”，即表示通过长度dl 的磁通量。

因此方程(20)式可以看作磁学中的磁高斯定理，它表示通过环路C 的总“二维磁通量”为零 这表明B 线应该是闭合环线，这也就是我们通常所说的磁场为涡旋场。

2.3 留数定理在静电学中的应用同磁学中的讨论方法相同，现在我们考虑二维平面静电场问题，这里选择线电荷分布．其电荷线密度为λ（λ>0）.考虑线电荷在空间产生电场的轴对称性．选取线电荷沿z 轴分布，它所产生的电场E 在y x -平面内成径向分布，如图四所示.由电磁学知:r r E)2/(20πελ= (23) 在直角坐标系中分量形式为=x E )2/(0r πελ[)/(22y x x +])]/()[2/(220y x y r E y +=πελ现在我们构造一个复函数E ~E ~=zy x iy x iE E y x 1220220⋅=+-⋅=-πελπελ 那么E ~除z=0外在空问各点都处处解析．在z=0处，由留数定理有00/)2/(2~ελπελπi i dz E c==⋅⎰ （24）又 ⎰⎰+⋅-=⋅ccy x idy dx iE E dz E )()(⎰⎰--+=cx y cy x dy E dx E i dy E dx E )()( （25）由(24)式和(25)式可得 ⎰=+c y x dy E dx E 0)(即 0=⋅⎰cl d E（26）和 0/)(ελ-=-⎰cy x dy E dx E （27）有以上推导可知，利用复数 y x iE E E -=~和留数定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即为电磁学中的静电场环路定理，它表明静电场是保守场，且静电场中电力线不可能是闭合线。