一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射
逆映射： f -1
恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质： f f -1 = f -1f = e
群论-群论基础-集合与运算
3 二元运算 定义：若对 A 上的每一对有序元(a, b ) ，在 A 上有唯一确定的 c 与之对应，即有一规则 R 使得 A×A → A，则 R 称为 A上的一 个二元运算，记为 R：A×A → A， 或 R：(a, b ) → c = R(a, b )
2) 结合律：gi ( gj gk ) = (gi gj ) gk , ∀gi , gj , gk ∈ G
3) 存在单位元：gi e = e gi = gi , ∀gi ∈ G
4) 存在逆元素： ∀gi ∈ G ，∃gi -1∈ G ，使得gi gi -1 = gi -1 gi = e
广群，半群，幺半群
母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中； 每个陪集的元素个数相同； 所有陪集要么没有公共元，要么全同 ——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合
群论-群论基础-子群及其陪集
定理1.2 拉格朗日定理： 设 H 是 G 的一个子群，则 G 的阶 |G| 一定是 H 的阶 |H| 的整 数倍，即|G| = k |H| 。其中 k 是正整数，称为 H 在 G 中的指数， 实际上也就是 G中含 H的陪集数。
推论（定理1.2 的推论）：
若群 G 的阶为素数时，G 没有真子群，而且 G 必为循环群。
群论-群论基础-子群及其陪集
例：D3只有三阶子群和二阶子群，即H1和H2 H1 = { e, a, b }
左陪集（两个）
eH1 = aH1 = bH1 = { e，a，b } kH1 = lH1 = mH1 = { k，l，m }
群论-群论基础-共轭元素类
单位元自成一类 单位元可与任何元素交换乘积次序
阿贝尔群的所有元素各成一类； 循环群等，群元乘积可交换次序
矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似 变换不改变矩阵的迹，相似矩阵有相同的迹，所以 同一个类的矩阵有相同的迹
群论-群论基础-共轭元素类
群G 中任何一个类Ci 满足： ∀x ∈G，xCi x-1 = Ci 。 因为所有形如xgix-1 的元素都是共轭的，而且每个都互不相 同，个数与Ci 中一样，所以xCi x-1 = Ci 。
单位元唯一； 逆元素唯一
若 群 G = { e, g2 , …, gi ,…} 与 群G' = { e', g'2 , …, g'j ,…} 同 态或同构，则： G 的单位元 e 的象是 G' 的单位元 e' ∀g ∈ G，设g 的象是 g'，则 g 的逆元 g-1 的象是 g'-1Biblioteka 群论-群论基础-集合与运算
→ 4:1
例如：G = { e, a, a2, a3 } → G′ = { 1, -1 } —— 二对一的同态
群论-群论基础-集合与运算
§1.2
群的定义和基本性质
什么是群？
1 定义 G = { e, g2, …, gi , …} 是一个集合，其中定义了乘法。如果对 于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G 称为群： 1) 闭合律：gi gj ∈ G, ∀gi , gj ∈ G
逆类：若 Ci = { g1, g2, …, gm } 是群 G 的一个共轭类， 集 合 Ci' = { g1-1, g2-1, …, gm-1 } 也是G 的一个共轭类，称为Ci 的 逆类。
可以把群分解为不相交的共轭类的并集： G = C1∪C2 …∪Cl 式中Ci 为第i 个共轭类，G 按共轭关系分成 l 个不同的类。
故可以写为： C1 = { e }，C2 = { 2c3 }，C3 = { 3c2 }
一般对于群元，可以按共轭类记之，如： D3 = { e, 2c3 , 3c2 }
群论-群论基础-共轭元素类
3 几个定理
定理1.3 若Λ 是群中若干个完整的类构成的集合：Λ = C1 + C2 + … = ΣkCk， x是群中任意元，则有xΛx-1 = Λ 成立。
群论-群论基础-集合与运算
同态：A 到B的等比例缩小 ——保持乘法结构：f ( xi ·xj ) = f ( xi ) × f ( xj ) 设 f ( xi) = y（i=1,2…,l），则对于所有的i，有 f ( xi ·x) = f ( xi ) × f(x) = y × f(x) → 所有的xi ·x对应于同一个元
群论-群论基础-共轭元素类
D3 群的共轭类 D3 群有三个共轭类：C1 = { e }，C2 = { a, b }，C3 = { k, l, m }。
因为a, b 代表旋转120°（即360°/ 3），称之为绕 3次轴的旋转，记为c3 ； k, l, m 代表旋转180°（即360°/ 2），称之为绕 2 次轴的旋转，记为c2 ；
则称 f 为 A到 B的同态，记为 A ~ B
群论-群论基础-集合与运算
同态映射若是一一映射 → 同构：A=B 同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号
数学上，同构即是同一
→1:1
例如：G = { e= a4, a, a2, a3 } → G' = { 1, i, -1, -i } 物理上，同构的集合有分别： G = { e, c2} 和 G' = {e, ci }
右陪集：H 的右陪集和左陪集有同样的性质。 左陪集 qH 和右陪集 Hq不一定相等。
群论-群论基础-子群及其陪集
3 拉格朗日定理
H 的所有左陪集都包含有相同数目的元素
若g∈ H，则 gH = H ；若 g∉ H，则 gH ∩ H = ∅
根据陪集的性质，可以得到结论： 任意两个左陪集 xH 和 yH，要么完全相同，要么完全不同
定理1.1 有限群重排定理 设 G 是一个 N 阶群，则 G 的每一个元素在群表的每一 行以及每一列中出现且只出现一次。
推论
若 f 是群元的任意函数，则有
f g f xg , x G
i i i 1 i 1
N
N
群论-群论基础-子群及其陪集
§1.3 子群及其陪集 1 子群
群论-群论基础-子群及其陪集
2 陪集 设 H = { e, h2, …, hm } 是 G 的一个子群，对于某个元素g∈ G， 集合 gH = {g, gh2, …, ghm } 称为 H 的一个左陪集。 陪集的代表元
若某个 q∈gH，则有 qH = gH （因 q= ghi） ——陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作 为此陪集的“代表元”
如果 G 是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就 是相似矩阵。
自反性：即 G 的任一元素与自身共轭 对称性：即 gi 是gj 的共轭元素，则gj 也是gi 的共轭元素 传递性：若gi 与gj 共轭，而gj 与gk 共轭，则gi 也是gk 的共 轭元素 ——共轭关系是一种等价关系
群论-群论基础-共轭元素类
设 H 为 G的一个子集，若它对G的乘法构成群，则称 H 为 G 的子群 平凡子群，真子群 判别方法： 符合以下两个条件的 G 的子集 H 是 G 的子群： 若 ∀gi , gj ∈ H ，有 g i g j ∈ H 若 ∀gi ∈ H，则gi -1 ∈ H 对于有限群，只要满足第一个条件 ，即乘法的封闭性，就 可证明 H 是 G 的子群。
m
m l k b
l
m
l
m
m
k
k
l
b
a
e
b