第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。

在这两种情况下，时间t 仍是连续的。

在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。

由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。

该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。

本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。

给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。

如图10.1.1(a)所示，令⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (10.1.1)显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即)()(),(k k k t k t '-=〉'--〈δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。

设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k a t x P k0kk0φφ∑∑=-=(10.1.3)式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。

)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作是)(t x 在0V 中的近似。

)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。

令)()(/,k t 22t j 2j k j -=--φφ (10.1.4)是由)(t φ作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的)(t φ，)(,t k j φ和)(,t k j 'φ是正交的。

这一结论可证明如下：因为 dt k t 2k t 22t t j j jk j k j )()()(),(,,'--=〉〈-*--'⎰φφφφ 令t t 2j'=-，则t t j'=2,t d dt j'=2,再由（10.1.2）式，有 )()()(k k t d k t k t '-=''-'-'⎰*δφφ (10.1.5) 于是结论得证。

将)(t φ作二倍的扩展后得)2(t φ，如图10.1.1(g)所示。

由)2(t φ作整数倍位移所产生的函数组Z k k t t k ∈-=--),2(2)(12/1,1φφ当然也是两两正交的（对整数k ），它们也构成了一组正交基。

我们称由这一组基形成的空间为1V ，记信号)(t x 在1V 中的投影为)(1t x P ，则 ∑=kk111t k a t x P )()()(,φ(10.1.6)式中)(k a 1为加权系数。

)(1t x P 如图10.1.1(h)所示。

)(k a 1仍为离散序列，如图10.1.1(i)所示。

若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的)(t φ的基础上，我们可得到在不同尺度j 下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是Z j V j ∈,。

用这样的正交基对)(t x 作近似，就可得到)(t x 在j V 中的投影)(t x P j 。

由图10.1.1(a)和图10.1.1(g)，我们不难发现：)1()()2(-+=t t tφφφ (10.1.7) 再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对)(t x 的近似要优于图(h)对)(t x 的近似，也即分辨率高。

所以，用)(,t k j φ对)(t x 作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，j 越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。

当-∞→j 时，)(,t k j φ中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有)()(t x t x P j j =-∞→ (10.1.8)另一方面，若+∞→j ，那么)(,t k j φ中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，∞→j j t x P )(时对)(t x 的近似误差最大。

按此思路及（10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数))((1j 2t =φ完全可以由高一级分辨率的基函数)0)((=j t φ所决定。

从空间上来讲，低分辨率的空间1V 应包含在高分辨率的空间0V 中，即10V V ⊃ (10.1.9) 但是，毕竟0V 不等于1V ，也即)(0t x P 比)(1t x P 对)(t x 近似的好，但二者之间肯定有误差。

这一误差是由)(k t -φ和)2(1k t --φ的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为)(1t x D 。

这样，有)()()(110t x D t x P t x P += (10.1.10) 该式的含义是：)(t x 在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。

现在我们来寻找)(1t x D 的表示方法。

设有一基本函数)(t ψ，如图10.1.1(d)所示，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (10.1.11)很明显，)(t ψ的整数位移也是正交的，即dt k t k t k t k t )()()(),('--=〉'--〈⎰*ψψψψ)(k k '-=δ (10.1.12) 进一步，)(t ψ在不同尺度下的位移，即Z k j t k j ∈,),(,ψ，也是正交的，即 dt k t k t t t jj jk j k j )2()2(2)(),(,,'--=〉〈-*--'⎰ψψψψ)(k k '-=δ (10.1.13)(2)t ψ如图（j ）所示。

同时，)(t φ和)(t ψ的整数位移之间也是正交的，即Z k k 0k t k t ∈'=〉'--〈,)(),( ψφ (10.1.14) 观察图(a)，(d)和(g)，不难发现，)(t ψ和)(t φ之间有如下关系：2/)]2()2([)(t tt ψφφ+= (10.1.15a) 及2/)]()([)12(t t t ψφφ-=- (10.1.15b) 记)(k t -ψ张成的空间为0W ，)2(1k t --ψ所张成的空间为1W ，依次类推，)(,t k j ψ张成的空间为j W ，记)(t x 在空间0W 中的投影为）t x D (0，在1W 中的投影为）t x D (1，它们均可表为相应基函数)(,t k j ψ的线性组合，即 )()()(,t k dt x D k 0k 00ψ∑= (10.1.16))()()(,t k d t x D k1k11ψ∑=(10.1.17)式中)(k d 0,)(k d 1是0=j ,1=j 尺度下的加权系数，它们均是离散序列。

）t x D (0,)(k d 0分别如图10.1.1(e)和(f)所示，）t x D (1,)(k d 1分别如图(k)和(l)所示。

由图10.1.1不难发现，若将图(h)的)(1t x P 和图(k)的)(1t x D 相加，即得图(b)的)(0t x P ，由空间表示，即是110W V V ⊕= (10.1.18) 式中⊕表示直和[注1]。

这说明，1W 是1V 的正交外空间，并有01V V ⊂，01V W ⊂[注2]。

我们把上述概念加以推广，显然有图10.1.1 信号)(t x 的近似122110W W V W V V ⊕⊕=⊕=11W W W V j j j ⊕⊕⊕=- （10.1.19） 并且1210+⊃⊃⊃⊃j j V V V V V （10.1.20）这样，给定不同的分辨率水平j ，我们可得到)(t x 在该分辨率水平上的近似)(t x P j 和)(t x D j ，由于)(t φ是低通信号，因此)(t x P j 反映了)(t x 的低通成份，我们称其为)(t x 的“概貌”。

由于)(k a j 是由)(t x P j 边缘得到的离散序列，所以)(k a j 也应是)(t x 在尺度j 下的概貌，或称离散近似。

同理，由于)(t ψ是带通信号，因此)(t x D j 反映的是的高频成份，或称为)(t x 的“细节”，而)(k d j 是)(t x 的离散细节。

在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即)(t φ和)(t ψ，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。

由后面的讨论可知，对)(t x 作概貌近似的函数)(t φ称为“尺度函数”，而对)(t x 作细节近似的函数)(t ψ称为小波函数。

读者不难发现，图10.1.1(d)中的)(t ψ即是我们在上一章提到的Haar 小波。

图(a)中的)(t φ即是Haar 小波在0=j 时的尺度函数。

10.1.2树结构理想滤波器组我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理。

一个离散时间信号)(n x 经过一个两通道滤波器组后，)(0z H 的输出为其低频部分，频带在2/~0π；)(1z H 的输出为其高频部分，频带为ππ~2/。

由于)(0z H 、)(1z H 输出后的信号频带均比)(n x 的频带降低了一倍，因此，在)(0z H 和)(1z H 的输出后都各带一个二抽取环节，如图10.1.2所示。

如果我们把)(n x 的总频带)~0(π定义为空间0V ，经第一次分解后，0V 被分成两个子空间，一个是低频段的1V ，其频率范围为2/~0π；另一个是高频段的1W ，其频带在ππ~2/之间。

显然，110W V V ⊕=，并且1V 和1W 是正交的，即二者的交集为空间0V （此亦是直和的定义）。

按此思路，我们可在)(0z H 的输出后再接一个两通道分析滤波器组，这样就将空间1V 进一步剖分，一个是高频段的空间2W )2/~4/(ππ，另一个是低频段的空间2V )4/~0(π，如图10.1.2(a)和(b)所示。

由上面的分解不难发现，110W V V ⊕=， ,221W V V ⊕=j j 1j W V V ⊕=-, (10.1.21a) 及 j j V W W W V ⊕⊕⊕⊕= 210 (10.1.21b) 或 j V V V V ⊃⊃⊃ 210 (10.1.21c)注1: 1S ,2S 是空间S 的子空间，若 ①021=S S ;②S S S =21 ，则称S 是1S 和2S 的直和。