高中数学必修四总复习
练习题及答案
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第1题．已知函数sin()y A x ωϕ=+，在一个周期内当π
12
x =
时，有最大值2，当7π
12
x =
时，有最小值2-，那么（ ） Ａ．1πsin 223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ Ｂ．1πsin 226y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
Ｄ．π2sin 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
答案：Ｄ
第2题．直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（ω为常数，且0ω>）相交的两相邻点间的距离为（ ） Ａ．π Ｂ．
2π
ω
Ｃ．
π
ω
Ｄ．与a 值有关
答案：Ｃ
第3题．在ABC △中，若()()0CA CB CA CB +-=·
，则ABC △为（ ） Ａ．正三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形
Ｄ．无法确定
答案：Ｃ
第4题．函数()sin cos =+f x x x 的最小正周期是（ ） Ａ．π
4
Ｂ．π2
Ｃ．π Ｄ．2π
答案：Ｃ
第5题．如果2
π
1
tan()tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝
⎭
，，那么π
tan 4
α⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（ ） Ａ．24
7
Ｂ．
322
Ｃ．
1322
Ｄ．16
答案：Ｂ
第6题．设sin π0()(1)10x x f x f x x <⎧=⎨-+⎩， ，，，≥1cos π2()1(1)12
x x g x g x x ⎧
<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≥， ，，，
求11534364g f g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值．
解：原式π2ππcos sin 1cos 1sin 134
36
4⎛⎫⎛⎫
=+-++++-+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．
第7题．已知向量m (cos sin )θθ=，，n sin cos )(π2π)θθθ=∈，
，，，且
m n +=
， 求πcos 28θ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭．
解：m n +(cos sin cos sin )θθθθ=-++，
m n +=
=
=
由已知m n +=
，得π7cos 425θ⎛⎫+=
⎪⎝⎭
． 又2ππcos 2cos 1428θθ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
， 所以2π16
cos 2825
θ⎛⎫+=
⎪⎝⎭． π02π<<，5ππ9π
8288
θ∴
<+<
． πcos 028θ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，π4cos 285θ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
．
第8题．已知向量a 33cos sin 22x
x
⎛⎫
= ⎪⎝
⎭，，b cos sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，则+a b
等于 ． 答案：2cos x
第9题．关于函数π()4sin 2()3⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
R f x x x ，有下列命题：①()f x 的表达式可以改写成π()4cos 26f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
；②()f x 是以2π为最小正周期的周期函数；③()f x 的
图象关于点π06
⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
对称；④()f x 的图象关于直线π6
x =-对称．
其中正确命题的序号是 ． 答案：①③
第10题．定义运算x y *为：x y *x x y y x y ⎧=⎨<⎩
，，
，，≥则函数()sin cos f x x x =*的值域
为 ．
答案：1⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
第11题．若+=-a b a b ，则a b ，的关系是 ． 答案：⊥a b
第12题．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
，7
cos225α=，求sin α及πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
．
解：由题设条件，应用两角差的正弦公式，得πsin cos )4ααα⎛⎫-=- ⎪
⎝
⎭
．
又πsin 410
α⎛⎫-=
⎪⎝
⎭
，7
sin cos 5
αα∴-=． ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式，得
22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+7
(cos sin )5
αα=-+．
又7cos225α=
，故1
cos sin 5
αα+=-． ② 联立①，②，解得3
4sin cos 5
5
αα==-，． 因此3
tan 4
α=-．
由两角和的正切公式，得πtan 3α⎛⎫+=
= ⎪⎝
⎭．
第13题．下列四个命题中可能成立的一个是（ ） Ａ．1sin 2
α=，且1cos 2
α= Ｂ．sin 0α=，且cos 1α=- Ｃ．tan 1α=，且cos 1α=- Ｄ．α是第二象限角时，sin tan cos α
αα
=-
答案：Ｂ
第14题．下列命题正确的是（ ） Ａ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等
Ｂ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 Ｃ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线 Ｄ．若a 平行b ，且b 平行c ，则a 平行c 答案：Ａ
第15题．已知3sin 5
α=，α是第二象限的角，且tan()1αβ+=，则tan β的值为（ ） Ａ．7- Ｂ．7 Ｃ．34
-
Ｄ．34
答案：Ｂ
第16题．若a (2)λ=，，b (35)=-，，且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
Ａ．103
⎡⎫+⎪⎢
⎣⎭
，∞ Ｂ．103⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，∞
Ｃ．103⎛⎤
- ⎥⎝
⎦，∞
Ｄ．103
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
∞ 答案：Ｄ
第17题．已知函数π()(0)x
f x R R
=>图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在222x y R +=上，则()f x 的最小正周期是（ ） Ａ．1 Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
答案：Ｄ
第18题．设函数3()()=∈R f x x x ，若π
02
θ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->·恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） Ａ．(01)，
Ｂ．(0)-，∞ Ｃ．(1)-，∞
Ｄ．12⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，∞
答案：Ｃ
第19题．化简2cos()cos()sin αβαββ+-+．
解：原式21(cos2cos2)sin 2αββ=++221(cos212sin )sin 2
αββ=+-+
21
(1cos2)cos 2
αα=+=．
第20题．已知函数()sin()(00)f x A x A x ωϕω=+>>∈R ，，在一个周期内的图象如图2所示，求直线3y =与函数()f x 图象的所有交点的坐标． 解：由图象得2A =，7ππ4π22T ⎛⎫
=
--= ⎪⎝⎭
． 则2π12
T ω=
=． 故12sin 2y x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
又1π
022ϕ⎛⎫
⨯-+= ⎪⎝⎭，π
4ϕ∴=． 1
π2sin 2
4y x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．
由条件知1π32sin 2
4x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭， 得1ππ2π()243x k k +=+∈Z 或1π2π
2π()243
x k k +=+
∈Z ． π4π()6x k k ∴=+∈Z 或5π
4π()6
x k k =+∈Z ．
则所有交点坐标为π4π36k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或5π4π3()6k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z ，．
第21题．（1）已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -+=·，求a 与b 的夹角θ；
（2）设(25)(31)(63)OA OB OC ===，，
，，，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）(23)(2)61a b a b -+=·，
2244361a a b b ∴--=·． 又43a b ==，
， 6a b ∴=-·．
1
cos 2
a b a b θ∴==-·．
120θ∴=．
（2）设存在点M ，且(63)(01)OM OC λλλλ==<，
≤，
(2653)MA λλ∴=--，，(3613)MB λλ=--，．
MA MB ⊥，
(26)(36)(53)(13)0λλλλ∴--+--=． 24548110λλ∴-+=，
角13λ=，或115
λ=．
(21)OM ∴，，若221155OM ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，．
∴存在(21)M ，或221155M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，满足题意．
第22题．已知物体在共点力1(lg 2lg 2)=，
F ，2(lg 2lg5)F =，的作用下产生位移(12lg5)S =，，则共点力对物体做的功W 为（ ）
Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．lg5 Ｄ．lg2
答案：Ａ。