用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。

解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13∴an－13 =－2（an－1－13 ）故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有（A－1）x=B知x=BA－1 ，从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ），于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA －1 、公比为A的等比数列，故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1，从而an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。

例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。

解：令an＋x•13n=2（an＋x•13n-1）则an=2an－1+ 2x•13n-1－x•13n=53 x•13n-1=5x•13n而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。

故an＋15 •13n＝2（an－1＋15 •13n-1）从而{an＋15 •13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 •13=1615 的等比数列。

于是an＋15 •13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 •13n=115 （2n+3－13n－1）评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n －1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。

值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。

特别地，当f（n）=B（B 为常数）时，就是前面叙述的例8型。

这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ，求其通项公式。

在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k （n）来。

通过Sn求an例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。

解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=34 。

由于an =5Sn－3………①则an-1 =5 Sn-1－3………②①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1）∴an－an－1 =5an故an=－14 an-1，则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列，则an=34 （－14 ）n-1评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n 项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式1 观察法2 逐减法对an-a(n-1)=f(n)型3 累商法对a(n+1)/a(n)=f(n)型4 迭代法5 待定系数法6 对数转换法7 倒数转换法8 公式法有一个相当复杂的公式基本不会用到9 a(n+1)=pan+q型设a(n+1)-m=p(an-m)a(n+1)=pan+m-pmm-pm=q 就能求出mx=px+q叫特征方程10 a(n+1)=pan+f(n)型a(n+1)/[p^(n+1)]=an/p^n+f(n)/[p^(n+1)]设bn=an/p^nb(n+1)=bn+ f(n)/[p^(n+1)]11 a(n+2)=pa(n+1)+qn 型an=pa(n-1)+qa(n-2)设an-ma(n-1)=k[a(n-1)-ma(n-2)]an=(m+k)a(n-1)-kma(n-2)m,k是x^2-px+q=0两根x^2-px+q=0是特征方程求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。

通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解例1、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=21（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1， ∴数列{ a n －2}是以21为公比，－1为首项的等比数列 ∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（21）1-n 说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。

一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1-p q ，从而得等比数列{a n +k }。

例2、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

解：由0731=-++n n a a 得37311+-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得373=--k k 解得47-=k ∴{47-n a }是以31-为公比，以43471471-=-=-a 为首项的等比数列 ∴1)31(4347--⨯-=-n n a ∴1)31(4347--⨯-=n n a 2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解例3、数列{a n }满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。

分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列∴1123-+⋅=-n n n a a利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++=2232323021+⋅++⋅+⋅-- n n=2)1222(321+++++⋅-- n n =221213+--⋅n=123-⋅n∴1231-⨯=-n n a说明：这种方法适用于n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。

例4、数列{a n }中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{a n }的通项公式。

解：由n n n a a a +=++1223得,313212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(31112n n n n a a a a --=-+++ ∴}{1n n a a -+是以31-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列 ∴11)31(-+-=-n n n a a 由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =11)31()31()31()31(232++-+-++-+--- n n=1311)31(11++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n 说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得 }31{1n n a a ++为常数列，故373123131311211=+=+==+=+-+a a a a a a n n n n 可转2。

高中数学解题基本方法——待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程。