对（7）关于求导得到 （8）
则利用椭圆问题有限体积元的结论可得（注意） （9）
（10） 分解误差： 的估计已知，只须估计。由方程（5）－（7）可知， 满足 取，利用引理1－2得到 由（4）式和引理2知 ，则从上式得到 或 则利用三角不等式和（10）式得到
第3讲、一阶线性双曲方程的差分方法
1、 一阶双曲问题
（9） 如果对三个参数都是单调递增的，则称差分格式（9）是单调差分 格式。 单调差分格式是L1－TVD的，且满足极值原理： 将一般的差分格式改写为
（10） 定理1 如果差分格式（10）的系数满足
（11） 则差分格式为单调的；如果满足
（12） 则差分格式是TVD的。
证明：第一个结论是显然的，将（10）写为 则可有（注意） 利用（12）式得到
（4） 其中称为数值通量，要求满足
（5） 称（5）为相容性条件。
3、 相容性与守恒性
当差分方程（4）满足相容性条件（5）时，它与微分方程是相容。 事实上，对任何光滑函数和，利用泰勒展开得到（记） 则（4）式为 或者写为 令，即知差分方程逼近于微分方程。
称差分方程为守恒型，如果
（6） 对相容的差分格式（4），如果，当时，则它为守恒型的。事实上，利 用相容性条件知 对（4）式求和，即知（6）式成立。
（18）
3、抛物问题全离散有限元近似
剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将 代入（21）可导出全离散方程组 （22）
其中。 系数矩阵是对称正定的。可逐层求解。 误差分析。令。为的有限元椭圆投影，只须估计。由方程（11）知
（14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足
（15） 根据椭圆问题的有限元结果可知
（16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得
（17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到
满足 （23）
。则利用，从（23）和（21）得到满足 取得到 或写为 写 对上式求和且利用（19）式得 利用椭圆投影的逼近性质得到 再利用三角不等式即得全离散误差估计 （24）
全离散向后Euler格式关于时间方向只有一阶精度。 二阶精度的Crank-Nicolson格式：求使满足 （25） 其中 。 方程（25）的矩阵方程形式为 处，从方程（11）知，精确解满足 。则椭圆投影满足 分解误差：。从（25）式得到 （26） 在（26）中取，注意
抛物问题（5）的有限体积元近似为：求 使满足 （6）
其中双线性形式如椭圆问题。 引理2 下述结论成立 i)
ii) 是上与等价的范数。 由引理2可知，导出的质量矩阵是对称正定的，则常微分方程组 （6） 唯一可解。由引理1也知道由导出的刚度矩阵也是对称正定的，这可保 证全离散格式的唯一可解。
误差分析 设为问题（6）的解，引进的有限体积元投影：满足 （7）
（14） 现考虑半离散方程（13）的求解。利用基函数可将（13）写成常微
分方程组形式：
（15） 初值由确定，一般由的投影确定。对常微分方程组（15）可采用k阶显 式Roung-Kutta方法离散，由时间方向逐层求解。
例如，可采用如下R-K算法： 1． 2．对计算
3． 为了保持非线性稳定性，避免非物理振荡，通常还要采用坡度限制 器（slope limiting）算子进行处理，即在上述步2中，令
4 双线性形式
由，则定义与相应双线性形式：
5 问题的有限体积元近似
求使 （1）
由于，则（1）等价于
则有误差方程 (2)
6 插值算子的性质
i) ii) (3) iii) (4) 守恒性质: 在(1)中取,得到
7 解的存在唯一性
引理1 设，则 证明：利用Green公式和（3）式，注意为常数，得到
定理1 有限体积元解唯一存在，且满足 证明：由引理1，方程（1）和（4）式知 满足
（2） （3） （4） 稳定性分析 采用Fourier方法，令，为参数。记网比。将表示代入 （2）－（4），可分别导出增长因子： 则 则在条件下，当时，采用格式（2），当时，采用格式（3）。格式 （4）是不稳定的。（2）和（3）称为迎风差分格式，可统一写为： 其中。迎风差分格式（2）-(3)是依据特征线走向取值的，网比条件或 （特征线的斜率）是为了保证差分解的依赖域包含精确解的依赖域，见 下图。
CFL条件的一个离散形式为 定义 ， 变差 若差分解满足
（8） 则称差分解是TVD的（总变差衰减）。
TVD格式通常保持差分解的单调性，且为高分辨格式。 上述例中的三个格式在CFL条件下都是守恒型TVD格式。但都为一 阶精度，如何构造高精度的TVD 是一个难点。高精度是指在解的光滑 区域上。 将守恒型差分格式写为
2、 间断性质（激波）
当有间断时，随着的发展，保持间断，若函数值间断，称为强间 断，若连续，但导数间断，称为弱间断。
例1 强间断，给定初值 解见图1。
图1 强间断解 例2 弱间断，给定初值 解见图2。
图2 弱间断解
3、 差分格式
在方向和时间方向进行剖分，剖分节点： 为剖分步长。 可对方程（1）构造如下三种差分格式
（9） 这是全离散间断有限元格式，可从左至右逐单元求解（对固定），时间 方向逐层求解。
2、 非线性守恒律问题
（10）
对方程（10）积分得到 （11）
类似线性情形，在间断点处，需特殊定义的值，记作，称为数值通量函 数，要求是相容的，即
（12） 在（11）式中用代替，代替，则得到间断有限元格式：求使满足
， 为坡度限制器算子 对多维问题或方程组情形，间断有限元方法更复杂，最优收敛阶，超 收敛，后处理等研究都还不完善。
第六讲 对流占优问题的特征差分和有限元
（4） 引进单元上的基函数空间：
（5） 则为的直交和。可在（4）中令。在单元上，令，将代入（4）并依次 取，可得到 可将离散方程（6）整理为矩阵方程形式：
（7） 其中为阶矩阵，元素分别为
例 设为分片常数空间，每个单元只有一个基函数，则方程（7） 为
（8） 对t离散后，这是迎风差分格式，由边值确定。
对方程（7）可进一步进行时间离散，例如，采用一阶向后差商，得 到
（27） 则在（26）中取 得到 求和，且利用（20），（27）和椭圆投影的逼近性质，得到 再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的误差估计：
（28）
第2讲 有限体积元方法
1、 椭圆问题
考虑椭圆边值问题：
设为凸多边形区域。当时，唯一存在，且满足 。
1 剖分与对偶剖分
设是的一个正则三角剖分，是所有剖分节点集合，是内节 点集合，对每一个做包含的有限体积（见图1）
2、抛物问题半离散有限元方法
考虑抛物型方程初边值问题：
（10） （10）的变分形式：求 使满足
（11） （11）的半离散有限元近似：求 使满足
（12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：
（13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1. 问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：
求和得到 上述三种差分格式在CFL条件下都是单调的TVD格式。
第5讲 一阶双曲方程间断有限元方法
1、 一维线性问题
（1） 特征方向：，特征方程，特征曲线。对问题（1）可以考虑纯初值问 题，也可以考虑初边值问题，但边值条件要根据特征走向给定。
这里考虑初边值问题：。假设，在左边界给定边值条件：。 空间剖分：取定剖分步长，剖分节点，半节点 ，单元。
4、 几个典型的差分格式
例1 Lax－Friedrichs格式 可改写为守恒型：
例2 迎风格式（注意） 可改写为守恒型格式
例3 Engquist-Osher格式
5、 稳定性
方程（1）可写为： 那么线性方程稳定性准则：，可转化为
CFL条件 （7） 但对非线性方程，CFL条件只是稳定性的必要条件，并不充分。一般还 得对差分格式附加其它要求才能保证非线性稳定性。
定义分段次多项式构成的间断有限元空间： （2）
中函数可以是不连续的。用与（1）做上的内积，得到： （3）
对于间断点上的取值，恒取为在单元内侧的极限值，即（左极限）（右 极限）。对于方程解，由连续性知，则一般根据特征走向取值。因，则 取迎风值。离散方程（3）现在变为 这是精确解满足的变分方程，在其中用代替，则得到方程（1）的间断 有限元近似：求使满足
格式（4）是不稳定的，可以改造为：
（5）
称为Lax-Friedrichs格式，稳定性条件为。
上述格式都是一阶的，一个二阶格式是Lax-Wendroff格式：
（6）
可以看作是对原方程的粘性近似方程：
的逼近，称为粘性差分格式，右端项称为人工粘性项。稳定性条件是。
事实上，迎风格式和LF格式都可以看作为粘性差分格式，它们可分
问题（2）的有限元近似：求使满足
（3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：
（4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得
（5） 由（5）可首先得到 则得到
（6）
－模误差分析
设 满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9）
（2） 满足（2）式的弱解存在也不一定唯一。如果在间断线上，弱解还满足 熵条件：
（3） 则称其为可容许解或物理解，物理解是唯一的。（1）的解通常存在间 断（激波），可以是强间断或弱间断。