2016-2017学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．{2}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，6}2．（3分）设点A（0，1），B（3，2），则=（）A．（﹣1，4）B．（1，3） C．（3，1） D．（7，4）3．（3分）函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．（3分）函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（）A．（，1）B．（0，1） C．（1，1） D．（，1）5．（3分）设，是平面的一组基底，则能作为平面的一组基底的是（）A．﹣，﹣B．+2，+C．2﹣3，6﹣4D．+，﹣6．（3分）若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（）A．log a b=2017 B．log b a=2017 C．log2017a=b D．log2017b=a7．（3分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°8．（3分）下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x|D．f（x）=x+39．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形10．（3分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若f（0）=f（3）＜f（1），则（）A．a＞0，3a+b=0 B．a＜0，3a+b=0 C．a＞0，9a+b=0 D．a＜0，9a+b=0 11．（3分）若sin（+α）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．（3分）如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i=1，2， (7)的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．113．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）15．（3分）若x∈（0，），则（）A．x2cos2x＞1 B．＞C．x2+cos2x＞1 D．x4﹣sin2x＞二、填空题（共8小题，每空3分，满分36分）16．（9分）某简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为，振幅为，初相为．17．（3分）2log510+log50.25=．18．（3分）△ABC中，若=2，=+λ，则λ=．19．（3分）设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f （x）=．20．（3分）已知sin（α﹣）=，则sin2α=．21．（6分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=2，cosB=，sinC=2sinA，则α=，△ABC的面积S=．22．（6分）已知定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．若f n（21）=1，则n=；若f4（x）=1，则x所有的值构成的集合为．23．（3分）在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则•的取值范围是．三、解答题（共2小题，满分19分）24．（9分）设向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．25．（10分）设a∈R，函数f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四个实数解满足x1＜x2＜x3＜x4．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x4）＞+8．2016-2017学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．{2}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，6}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（3分）设点A（0，1），B（3，2），则=（）A．（﹣1，4）B．（1，3） C．（3，1） D．（7，4）【解答】解：设点A（0，1），B（3，2），则=（3﹣0，2﹣1）=（3，1），故选：C．3．（3分）函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：函数f（x）=log2（x+2）有意义，可得x+2＞0，解得x＞﹣2，则f（x）的定义域为（﹣2，+∞）．故选：C．4．（3分）函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（）A．（，1）B．（0，1） C．（1，1） D．（，1）【解答】解：令x﹣1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选：C．5．（3分）设，是平面的一组基底，则能作为平面的一组基底的是（）A．﹣，﹣B．+2，+C．2﹣3，6﹣4D．+，﹣【解答】解：对于A，∵=﹣（），∴与共线，故不能作为平面α的一组基底；对于B，∵=2（），∴与共线，故不能作为平面α的一组基底；对于C，∵2﹣3=﹣（6﹣4），∴2﹣3与6﹣4共线，故不能作为平面α的一组基底；对于D，∵与不共线，故能作为平面α的一组基底；故选：D．6．（3分）若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（）A．log a b=2017 B．log b a=2017 C．log2017a=b D．log2017b=a【解答】解：若a2017=b（a＞0，且a≠1），则2017=log a b，故选：A．7．（3分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：∵a=2，b=2，A=30°，∴由正弦定理得：sinB===．∵b＞a，∴B=60°或120°．故选：D．8．（3分）下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x|D．f（x）=x+3【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．9．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形【解答】解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA，∴sin（A+B）＜sinBcosA，∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，∴sinAcosB＜0，又sinA＞0，∴cosB＜0，即B为钝角．故选：C．10．（3分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若f（0）=f（3）＜f（1），则（）A．a＞0，3a+b=0 B．a＜0，3a+b=0 C．a＞0，9a+b=0 D．a＜0，9a+b=0【解答】解：因为f（0）=f（3），即c=9a+3b+c，所以3a+b=0；又f（0）＜f（1），即c＜a+b+c，所以a+b＞0，即a+（﹣3a）＜0，所以﹣2a＜0，故a＞0．故选：A．11．（3分）若sin（+α）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：sin（+α）=，则cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，故选：B．12．（3分）如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i=1，2， (7)的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．1【解答】解：建立平面直角坐标系如图：A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），所以=（0，2），=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），所以=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，所以•（i=1，2，…，7）的不同值有0，2，4，个数为3；故选：C．13．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得=﹣，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=π，∴φ=﹣，∴f（x）=Asin（2x﹣）=Asin2（x﹣）．g（x）=Acosωx=Acos2x=Asin（2x+）=Asin2（x+），﹣（﹣）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长都，可得g（x）=Acosωx的图象，故选：B．14．（3分）设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）【解答】解：在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，∵++=，∴+=﹣设AB的中点为D，则OD⊥AB，=2，∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上．同理可证，AM在BC边的高线上，故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C．15．（3分）若x∈（0，），则（）A．x2cos2x＞1 B．＞C．x2+cos2x＞1 D．x4﹣sin2x＞【解答】解：x∈（0，）时，0＜sinx＜x，∴0＜sin2x＜x2；又sin2x+cos2x=1，∴x2+cos2x＞1，C正确．故选：C．二、填空题（共8小题，每空3分，满分36分）16．（9分）某简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为4π，振幅为3，初相为．【解答】解：由于简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为=4π，振幅为3，初相为，故答案为：4π；3；．17．（3分）2log510+log50.25=2．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．18．（3分）△ABC中，若=2，=+λ，则λ=．【解答】解：∵=2，∴﹣=2﹣2，∴=+，∵=+λ，∴λ=．故答案为．19．（3分）设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f （x）=﹣3﹣x+x．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f（x）=3x+x，∴f（﹣x）=3﹣x ﹣x．再根据函数f（x）是奇函数，可得﹣f（x）=f（﹣x）=3﹣x﹣x，∴f（x）=﹣3﹣x+x，故答案为：f（x）=﹣3﹣x+x．20．（3分）已知sin（α﹣）=，则sin2α=．【解答】解：∵已知sin（α﹣）=，则sin2α=cos（2α﹣）=cos2（α﹣）=1﹣2=1﹣2•=，故答案为：．21．（6分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=2，cosB=，sinC=2sinA，则α=1，△ABC的面积S=．【解答】解：∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，b=2，cosB=，sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理得cosB===，解得a=1，（舍负），∴c=2a=2，sinB==，===．∴△ABC的面积S△ABC故答案为：1，．22．（6分）已知定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．若f n（21）=1，则n=6；若f4（x）=1，则x所有的值构成的集合为{7，9，10，12，16} ．【解答】解：∵定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．f n（21）=1，∴f6（21）=f5（20）=f4（10）=f3（5）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，∴n=6．∵f4（x）=1，f4（16）=f3（8）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（12）=f3（6）=f2（3）=f1（2）=f（2）=1，f4（10）=f3（5）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（9）=f3（8）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（7）=f3（6）=f2（3）=f1（2）=f（2）=1，∴x所有的值构成的集合为{7，9，10，12，16}．故答案为：6，{7，9，10，12，16}．23．（3分）在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则•的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．由cosB==，∴sinB==．∴2R==，解得R=．∴•=•=﹣•+=﹣R2+∈[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．三、解答题（共2小题，满分19分）24．（9分）设向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）•=（sinx+cosx，﹣）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcos+=（1﹣cos2x）+sin2x+=sin2x﹣cos2x）+2=sin（2x﹣）+2，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的递增区间是[kπ﹣，kπ+]；（2）∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），故sin（2x﹣）的最大值是1，sin（2x﹣）＞sin（﹣）=﹣，故函数的最大值是3，最小值大于，即函数的值域是（，3]．25．（10分）设a∈R，函数f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四个实数解满足x1＜x2＜x3＜x4．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x4）＞+8．【解答】解：（1）若a=0，则f（x）=x2，显然直线y=ax+a与f（x）不可能有4个交点，不符合题意；若a＜0，作出f（x）=|x2﹣2ax|的函数图象，则直线y=ax+a与f（x）的图象不可能有4个交点，不符合题意；若a＞0，作出f（x）的函数图象如图所示：当0＜x＜2a时，f（x）=﹣x2+2ax，设直线y=k（x+1）与y=f（x）在（0，2a）上的函数图象相切，切点为（x0，y0），则，解得k=2a+2﹣2，∴a＜2a+2﹣2，解得a＞4．（2）联立方程组，得x2﹣3ax﹣a=0，解得x=，∴x4=．∴f（x4）=ax4+a=++a，令g（a）=++a，则g（a）在（4，+∞）上单调递增，∴g（a）＞g（4）=28+8＞+8．∴f（x4）＞+8．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=5APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.DA3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。