1
1.
T1表 示 在 x1轴 上 的 投 影 ； T2 表 示 在 x2轴 上 的 投 影 ； T3 表 示 关 于 I，III 象 限 对 角 线 得 对 称 映 ； 射 T4 表 示 这 样 一 个 变 换 ： 平 过面上任一点 P， 作 与 x1轴 的 平 O P' 行线交 x 2 轴 于Q， 把P点 映 射 Q P上 一 点 P'， 使 r. QP
1 1 q 7. 设p 1， 1， 无穷阵 ( ij )适 合 条 件 | kj | p q k 1 j 1 作算子 T如 下 ： y Tx， x ( i ) l p , y ( k )：
j 1
p/q

n1
5
6. 证明上题中的T存在有界逆的充分必要 条件是 inf | n | 0.
n 1
设 i n f | n | ， 若T有 有 界 逆 T 1， 则x ( i ) l 1，
n1
T 1 x T 1 x 特别设 l i 表 第i个 坐 标 为 1， 其 余 坐 标 为 0的l 1中 的 元 ， 则 Tli (0, , i ,0,) i l i， 故 T 1 i l i T 1Tli l i 1
所 以x* N， 即N是 闭 集 ， N显 然 是 X的 线 性 子 空 间 ， 故N是X的 闭 子 空 间 .
2
3. 若X是 有限 维 的赋 范 线 性空 间, 则 线性 算 子 T：X X必 是有 界 的 .
设 X是 n维 的 ， l1 ,，l n是X的 一 个 基 ， 取 M 0， 使 对 任 意 x i li 都 有 ： | i | M x
11 .
都无界 .
由 前 面 证 明 可 知 ， 如满 果足 条 件 的 M不 存 在 ， 则 p( x )在 任 意 开 球 （ 闭 球 ） 上
1 任取一球 B0 B ( x0 , r0 )， 则 必 存 在 x1 B( x0 , r0 )使p( x1 ) 1， 由 条 件 i v)， 2 r0 必 有r1 0， 使 当 x B ( x1 , r1 )时 ，p( x ) 1， 取r1 ， 则B1 B ( x1 , r1 ) B0， 2 1 类似地，必有 x 2 B( x1 , r1 )使p( x 2 ) 2， 再 由 i v)知 有r2 0， 使 当 x B ( x 2 , r2 )时 ， 2 r1 有p( x ) 2， 可 取 r2 ， 则B2 B ( x 2 , r2 ) B1， 依 此 方 法 ， 必 可 作 一 出列 球 ， 2 1 B n满 足( Bn B ( x n , rn ))： 0 rn rn 1，B n Bn 1， 且x Bn， 有 p( x ) n， 2 现在因 E完 备 ， 故 有 x* Bn， 从 而 p( x ) n， 这 是 不 可 能 的 ，
1 1 i
但 T 1 i l i T 1 i l i T 1 i ， 故 i T ， 所 以i n f | n | T
n1 1 1
0
反之，设 0， 则su p|
n1
1
n
|
1

6
1 1 令Sx x ( ) l i i i 则S是 有 界 线 性 算 子 ， 显 TS 然 ST I， 故T有 有 界 逆 S.
2.设X、Y是 赋 范 线 性 空 间 ， T : X Y是 线 性 算 子 ， 若T有 界 ， 则 T的 零 子 空 间 N { x X | Tx 0} 是X的 闭 子 空 间 . 设x n N，x n x *， 由T有 界 得 ： Tx* l i mTxn 0
n
k kj j ( k 1,2,)试 证T是l p到l p的 有 界 线 性 算 子 .
p 当x ( i ) l 时 ， | | | | k kj j p p k 1 k 1 j 1 q | j | | | (1) kj k 1 j 1 j 1 故Tx y ( k ) l p， 即T是l p到l p的 算 子 ， T显 然 是 线 性 的 ， p/q
n
证明：必存在 M 0， 使 对 一 切 x E， 都 有 p( x ) M x .
首先证明：如果存在球 一B( x0 , r )， 使 p( x )在B上 有 界 ， 则 必 有M 0， 使p( x ) M x (x E ). 事 实 上 ， 设 有 K 0, 使
1. 设T1、T2、T3、T4：R 2 R 2分 别 由 下 式 定 义 ： T1 : ( x1 , x 2 ) ( x1 ,0)； T3 : ( x1，x 2 ) ( x 2 , x1 )； 并 说 明 它 们 的 几 何 意. 义
由定义， T1、T2、T3、T4显 然 是 线 性 算 子 . 由 T1 ( x1 , x 2 ) ( x1 ,0) x1
r x B皆 有p( x ) K， 于 是 ， 当 x E， x 1时 ，x0 x B， 2 r 2 r 2 r 从 而p( x0 x ) K， 由 此 可 知 p( x ) p( x ) p( x0 x x0 ) 2 r 2 r 2 2 r 2 2 [ p( x0 x ) p( x0 )] [ K p( x0 )] ， 令M [ K p( x011 )] ， r 2 r r 即 得 p( x ) M x E x 1， 从 而 有 p( x ) M (x E ).
1 1
时 ， A 1 ( A B ) A 1 A B 1
1 1
故 I A1 ( A B )有 有 界 逆 ， 又 A有 有 界 逆 ， 从 而 I A 1 ( A B ) 也有有界逆，即 B有 有 界 逆 ， 这 说 明 ， 当 A B A 时， 就 有B G， 故A是G的 内 点 ， 因 A G是 任 意 的 ， 所 以 G是 开 集 .
所 以T是 有 界 的 .
3
4.
设D：C 1 [0,1] C [0,1]，Dx( t ) x' ( t )在 x ( t ) C m ax| x ( t ) |
0 t 1
x ( t ) C [0,1] x ( t ) C 1 [0,1]
x ( t ) C 1 x ( t ) C x' ( t ) C
10
11. 设E是Ban ach 空间， p( x )是E上 泛 函 ， 满 足 i ) p( x ) 0； i i ) 0时 ，p(x ) p( x )； i i i ) p( x y ) p( x ) p( y )； i v) 当x n x时 ，p( x ) lim p( x n )
q 且由（ 1） 可 知 ： Tx | kj | k 1 j 1 故T是 有 界 线 性 算 子 .
p/q

1/ p
x
7
8. 设E是Banach ，试证 ( E )中可逆算子的全体是 ( E )中开集 .
设( E )中 可 逆 算 子 的 全 体 为 G， 设A G，B ( E )， 则 B A ( A B ) A[ I A1 ( A B )] 当 A B A
5.设 su p| n | ， 在l 1中 定 义 线 性 算 子
n 1
y Tx ( i i )
x ( i )有 界 线 性 算 子 ， 且 T su p| n | .
记 su p| n | ， 则x ( i ) l 1
i 1 i 1 n n
(1) | ax Tli m 1 i n
n 则 Tx iTli | i | || Tli || |i i 1 i 1 i 1 M m ax Tli x ( x X )
n n 1 i n
1 1 考 虑l 0 { x ( i ) | ( i )中 只 有 有 限 个 坐 标 0}， 在l 0 中定义范数 1 x ( i ) i ， 因 为 x ( i ) l 0 时，只有有限个坐标 0， i 1 1 故 x 有定义，虽然 l0 是赋范线性空间， 1 1 考 虑l 0 上的线性泛函序列 { f n }：x ( i ) l 0
8
9. 设A、B ( E )，A1 ( E )，证明： 若AB BA，A B BA .
1 1
因 为AB BA， 所 以 A AB A BA， 即 B A BA， 由 此 又 得 ： BA A BAA
1 1 1 1 1 1
A B
9
1
10. 举例说明共鸣定理中空 间E1完备的条件不能去掉 .
f n ( x ) n n
1 则 x l 0 ， { f n ( x )}是 有 界 数 列 （ 因 为 对 定 固 的x ( i )只 有
有限个 i 0， 故 当 n充 分 大 时 ， n 0， 从 而 f n ( x ) n n 0） ， 但 显 然 有 f n n， 故{ f n }不 是 有 界 的 ， 这说明当 E1不 完 备 时 ， 共 鸣 定 理 能 不成 立 .
n 1
Tx ( i i ) i i i x
i 1 i 1


所 以 T ， 当 0时 ， 显 然 有 T ， 当 0时 ， 对任意给定的 0 ， 必 有 某 i0， 满 足| i0 | ， 0 i i0 取x ( ii0 ) ( ii0 )， 则 x 1， 1 i i 0 且 | i0 | Tx T x T ， 故 T ， 因 为 0是 任 意 的 ， 故 T ， 从 而 T su p| n | .