2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |﹣3＜x ＜3}，那么A ∩B ＝（ ） A. {﹣1，1} B. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1} 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |﹣3＜x ＜3}， A ∩B ＝{﹣2，0，2}． 故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A. {(1，﹣1),(﹣1，1)} B. {(1，1),(﹣1，﹣1)} C. {(2，﹣2),（﹣2，2)}D. {(2，2),(﹣2，﹣2)}【解析】 【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩， 其解集为 {(1,1),(1,1)}--． 故选：A ．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(,)x y ，一个解可表示为(1,1)-．3.函数y 11x -的定义域是（ ） A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可求得定义域． 【详解】依题意，010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥0且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪ (1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） A. y ＝x +1B. y ＝x 2﹣1C. y ＝2xD.12log y x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于B ，y ＝x 2﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于C ，y ＝2x ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于D ，12log y x = ，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 20.4，b ＝0.42，c ＝20.4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0和1比较． 【详解】∵log 20.4＜log 21＝0，∴a ＜0， ∵0.42＝0.16，∴b ＝0.16， ∵20.4＞20＝1，∴c ＞1， ∴a ＜b ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A. ac bd >B. ac bd <C. ad bc <D.ad bc >【答案】B 【解析】试题分析：根据0c d <<，有0c d ->->，由于0a b >>，两式相乘有,ac bd ac bd ->-<，故选B.考点：不等式的性质.7.设,a b R ∈，则“a b >”是“a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：因为a b >成立，,a b 的符号是不确定的，所以不能推出a b >成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） A. 2000(1﹣0.2x )mg B. 2000(1﹣0.2)x mg C. 2000(1﹣0.2x )mg D. 2000•0.2x mg【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数y 与x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y ＝2000× (1﹣20%)x ＝2000×0.8x (mg )， 即y 与x 的关系式为 y ＝2000×0.8x ． 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． 9.如图，向量a b -r r等于（ ）A. 31e u r ﹣2e u u rB. 123e e -u r u u rC. 123e e -+u r u u rD.123e e -+u r u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法法则，表示出a b -r r，然后根据加法法则与数乘运算得出结论．【详解】a b -r r＝123e e -u r u u r ，故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题． 10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价， 故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 12+x 22＝_____． 【答案】14 【解析】 【分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2， x 1+x 2＝4，x 1x 2＝1，x 12+x 22＝ (x 1+x 2)2﹣2x 1x 2＝16﹣2＝14， 故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．12.已知向量a r ＝(1,﹣2)，b r ＝(﹣3,m )，其中m ∈R ．若a r ，b r 共线，则|b r|＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出m ，再由模的坐标运算计算出模．【详解】∵a r ，b r共线，∴m －6＝0，m ＝6， ∴b ==r故答案为：【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． 13.已知函数f (x )＝log 3x ．若正数a ，b 满足19a b =，则f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2-【解析】 【分析】直接代入函数式计算．【详解】33331()()log log log log 29a f a fb a b b -=-===-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题． 14.函数()22,03,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是_____；满足f (x 0)＞1的x 0的取值范围是_____． 【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞） 【解析】 【分析】直接解方程()0f x =求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式f (x 0)＞1也同样由函数解析式去求解．【详解】0x >时，2()30f x x =-=，x =0x <时，()20,2f x x x =+==-，共2个零点，即零点个数为2；当0x >时，2()31f x x =->，2x >，当0x <时，()21,1f x x x =+>>-，即10x -<<， ∴0()1f x >的0x 的取值范围是(1,0)(2,)-+∞U ． 故答案为：2；(1,0)(2,)-+∞U ．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范围即可．15.已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中c ∈R ．①集合∁R A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，则c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3} (2). （﹣∞，﹣2] 【解析】 【分析】①先求出集合A ，再利用补集的定义求出∁R A ；②由对∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，所以A ∪B ＝R ，从而求出c 的取值范围． 【详解】①∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}，∴∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：(﹣∞，﹣2]，故答案为：{x|﹣2＜x＜3}；(﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．16.给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①1yx=；②12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）3 5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率． 【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=． (Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2， 则样本空间为：Ω＝{ (B 1，B 2)， (B 1，B 3)， (B 1，G 1)， (B 1，G 2)， (B 2，B 3)， (B 2，G 1)， (B 2，G 2)， (B 3，G 1)， (B 3，G 2)， (G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{ (B 1，G 1)， (B 1，G 2)， (B 2，G 1)， (B 2，G 2)， (B 3，G 1)， (B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点． 从而()63105P A == 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.在直角坐标系xOy 中，记函数()()3log 82xf x =-的图象为曲线C 1，函数()g x =的图象为曲线C 2．（Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C 1在直线y ＝1的下方时，求x 的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线C 1和C 2没有交点．【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 25,3)；（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”，推出()3log 821x-<．求解即可．(Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 1和C 2没有交点．【详解】解： (Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，又函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以f (2)＝log 34＞log 33＝1．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”， 所以()3log 821x-<．因为 函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以 0＜8﹣2x ＜3， 即 5＜2x ＜8，所以x 的取值范围是 (log 25，3)． (Ⅲ)因为f (x )有意义当且仅当8﹣2x ＞0， 解得x ＜3．所以f (x )的定义域为D 1＝ (﹣∞，3)． g (x )有意义当且仅当x ﹣3≥0， 解得x ≥3．所以g (x )的定义域为D 2＝[3，+∞)． 因为D 1∩D 2＝∅，所以曲线C 1和C 2没有交点．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）38；（Ⅲ）甲【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(II)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(III)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．【详解】(I)由题意1(0.190.450.290.01)0.06a=-+++=；(II)记事件A甲中射击一次中靶环数大于7，则()0.450.290.010.75P A=++=，甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：()()()()()() P P AA P AA P A P A P A P A =+=+3 0.750.250.250.758 =⨯+⨯=；(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本数据特征，属于基础题．20.已知函数．()21 1x f xx +=-,（Ⅰ）证明：f(x)为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f(x)是(1，+∞)上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f(x)的值域．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）1,1 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(I)用偶函数定义证明；(II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2]--上的单调性，可得最大值和最小值，得值域．【详解】(I)函数定义域是{|1}x x ≠±,2211()()()11x x f x f x x x -++-===---, ∴()f x 是偶函数；(II)当1x >时，()22111111x x f x x x x ++===---，设121x x <<， 则2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， ∵121x x <<，∴122110,10,0x x x x ->->->，∴12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，∴()f x 在(1,)+∞上是减函数；(III)由 (I) (II)知函数()f x 在[4,2]--上是增函数， ∴min 2411()(4)(4)13f x f -+=-==--，max 221()(2)1(2)1f x f -+=-==--， ∴所求值域为1[,1]3．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础． 21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ . （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】（Ⅰ）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩；（Ⅱ）确定5千件时，利润最大．【解析】【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润；(II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．【详解】(I)设利润是y (万元)，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩， ∴1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩； (II)06x <<时，189222[(8)]1888y x x x x=++=--++--， 由“对勾函数”知，当988x x -=-，即5x =时，max 6y =， 当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，∴5x =时，max 6y =，∴生产量为5千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．22.设函数(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若P ∩M ＝∅，且f (x )是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求出f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P )∪f (M )．(Ⅱ)由f (x )是定义在R 上的增函数，且f (0)＝0，得到当x ＜0时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0，+∞)⊆P ． 由此能求出P ，M ．(Ⅲ)假设存在非空数集P ，M ，且P ∪M ≠R ，但f (P )∪f (M )＝R ．证明0∈P ∪M ．推导出f (﹣x 0)＝﹣x 0，且f (﹣x 0)＝﹣ (﹣x 0)＝x 0，由此能证明命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，所以当x＜0时，f (x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f (P)，且0∉f (M)，即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．因为f (P)∪f (M)＝R，所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。