13.1命题、定理、证明
知识回顾：
1、阅读思考：①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断
2、定义：的语句,叫做命题
（二）命题的构成：
1、许多命题都由和两部分组成.
是已知事项, 是由已知事项推出的事项.
2、命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分
．．．．．是,
"那么"后接的的部分
．．．．．．是.
（三）命题的分类真命题：。

（定理：的真命题。

）
假命题：。

直角三角形的两个锐角互余。

例1.已知：如图在R t△ABC中，∠C=900
求证：∠A+∠B=900
例2．三角形的外角和等于3600
已知：△ABC，
求证：∠1+∠2+∠3=3600
【练习】
1、判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；（）
（2）请画出两条互相平行的直线；（）
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）
（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）2、下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补，两直线平行；
（5）对顶角相等．
（6）等角的补角相等；
（7）平行四边形的对边相等
13.2全等三角形
1、全等三角形的定义：。

相互重合的顶点称为；相互重合的边称为；相互重合的
角称为。

2、全等三角形的判定：
①的两个三角形全等。

（SAS）
符号语言：
注意：只有SAS没有SSA
拓展：以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
②的两个三角形全等。

（ASA）
A B C
符号语言：
③的两个三角形全等。

（AAS）符号语言：
④的两个三角形全等。

（SSS）
符号语言：
⑤的两个直角三角形全等。

（HL）
符号语言：例题：
1如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DC∥AB
2已知AC=DB, ∠1=∠2. 求证: ∠A=∠D
3已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
4、如图，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，DB=CE，∠B=∠C，求证：BE=CD.
5.如图，AB//DC，AD//BC,BE⊥AC，DF ⊥AC垂足为E、F。

试说明：BE＝DF
变形，如图（2）将上题中的条件“BE⊥AC，DF ⊥AC”变为“BE //DF”，结论还成立吗？请说明你的
2 1 D
C
B
A
A
O
D
B
C
E
D
C
A
B
理由。

6已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE
求证：（1）△ABC≌△FDE
（2）AC∥EF；DE∥BC
7、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，在BC 上截取BF=BA，作DF⊥BC，交AC于D点，
连结BD，作AE⊥BC于E点，交BD于G点，连结GF，试说明：GD平分∠AGF和∠ADF。

13.3.1 等腰三角形的性质及其判定
1、什么是等腰三角形？三角形的三边关系？
____________________________________
2、等腰三角形中，相等的两边都叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做，腰和底边的夹角叫做.
3、（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是；
（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是；
（3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。

4、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等。

（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）5、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说：在同一个三角形中，等角对等边。

归纳总结：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

用符号语言表示为：在△ABC中，
∵∠B=∠C ( )
∴AC=AB（）
6、小试牛刀
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为
(2)等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
(3)等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为
(4)等腰三角形有一个外角是80°，它的三个内角分别是
(5)等边三角形每个内角都是
3.如图，△ABC中AB=AC,∠B=∠C，BD=CE，说明∠
ADE=∠AED的理由
C
B
D E
A 6.,,,,
ABC AB AC DE AB BC D F AC E
DF EF BD CE
∆=
==
如图：在中,直线交于,交延长线于
若，求证:。

M
E
B
C
A
D
F
一 寸 光 阴 不 可 轻
13.4.1尺规作图
一、基本作图
1、作一条线段等于已知线段。

2、作一个角等于已知角
3、做已知角的角平分线
4、经过一已知点作已知直线的垂线
5、如果过直线上一点作已知直线
6、画线段的垂直平分线
的垂线能否利用画平角的平分线
的方法解决呢？
图24.4.8
二、综合作图
1、任意画出两个角∠1和∠2，使∠1 > ∠2，
2、把下图所示的角四等分
再作一个角，使它等于∠1—∠2
4、已知：线段a 和b(a ＞b )
5、如图，过点P 画∠O 两
边的垂线
求作：一个等腰△ABC,使它的 腰长等于线段a ，底边长等于b 。

6、已知：线段a 和b ， 求作：一个Rt △ABC,使它的两条直角边分别等
于线段a 和b 。

作法：
7、3(2011.青岛）已知：如图线段a 和h 。

求作：△ABC,使AB=AC ，BC=a ，且BC 边上的高AD=h
13.5.1.互逆命题与互逆定理
1、命题的概念：
2、命题都有两部分：
3、命题分为 和 两种．
4、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的 是第二个命题的 ，
而第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做
5、如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 。

例1：指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。

（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. （2）、等边三角形的每个角都等于60° 6、如果一个定理的逆命题也是 ，那么这两个定理叫做 。

其中的一个定理叫做另一个定理的 。

注意（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题 （2）所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理 练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。

(1)如果a+b ＞0，那么a ＞0，b ＞0． (2)如果a ＞0，那么a 2＞0． (3)等角的补角相等． （4）、若|a|＝|b|，则a ＝b ； B B
O
(第1题)
B C
A D
h
一 寸 光 阴 不 可 轻
13.5.2. 线段的垂直平分线
2、1、性质定理：线段垂直平分线上的点到 逆定理：
13.5.3. 角平分线
2、角平分线的性质定理： 逆定理：角的内部到角两边 。

例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝40°， AC 的垂直平分线MN 与AB 交于D 点，求∠BCD 的度数。

例2如图，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB=PC ，D 是AP 上一点。

求证： ∠BDP= ∠CDP
PA=PB
点P 在线段AB 的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C
D。