W
W
W d3
32
[]
其中M ：r3 M2 T2
第三强度理论 相当弯矩
Mr4 M2 0.75T2 第四强度理论
注：1、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。 2、对于非圆截面杆由于Wt≠2W,公式不适用。
[例10-6]图示传动轴传递功率p=7.5Kw,轴的转 速n=100r/min。A、B为带轮。轮A带处于水平位 置；轮B带处于铅垂位置。F‘p1= Fp1、 F’p2= Fp2为带拉力。已知Fp1> Fp2， Fp2=1500N,两轮直 径均为D=600mm,轴材料许用应力[σ]=80Mpa。 试按第三强度理论设计轴的直径。
[]
即： r3dM 3/r332[]
d33[M 2r]3338 21 016606 59.7 910 3m
讨论： 按第四强度理论？ Mr4 Mw 20.7T52
r4 dM 3/r432[]
d 3 32 M r3
[ ]
[例10-6]图示悬臂梁的横截面为等边三角 形，C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其 作用方向及位置如图所示，该梁变形有四 种答案:
FMyz Mz y
A Iy
Iz
FFzFzFyFy
A Iy Iz
FA(1ziy2zF yiz2yF)
式中 iz2 IAz ,iy2
Iy A
三.中性轴与最大应力
1.中性轴方程
中性轴上各点坐标（zo,yo),应力为零
中性轴方程0为：1z0zF y0yF 0
z0zF
y0yF
iy2 1
iz2
iy2
iz2
Wt=2W
r42 1(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2
r4
232
132M 202W W 0.752T3W dM 2223,,
2
W t W 1Td6t3
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r3
M 2 T 2 M r 3 []
W
W
r4
M 2 0 .75 T 2 M r 4
（√A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
（C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。
0,
yF
iz2 ay
h2 6
Ⅰ
hh 23
(5)中性轴位置变化与截面核心边界变化的关系：
①中性轴为定直线，载荷作用点为一定点；
②中性轴位置绕定点转动，载荷作用点集呈直线
z0zF iy2
y0 yF iz2
1
zF iy2 / z0
izy2F/ y0
1
（6）截面为对称图形， 截面核心也成对称图形。 按顺序连接所得到的各载荷点，作出截 面核心。
3.算例
[例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。
解：（1）作中性轴Ⅰ，az
（2）求载荷点① ，
b 2,ay
zF
iy2 az
yF
b2 2b 6b 3
iz2 0 ay
z
②• ③ • •①
④•
h 2
h
（3）作中性轴Ⅱ ，
2
az
,ay
h 2
（4）求载荷点② ，
Ⅱ
by b
2
2
zF
iy2 az
传动轴 曲拐
CL11TU13
二.弯扭的应 力分析
1. 简化外力：
P弯曲变形 T=-Pa扭转变形 2. 分析危险截面：
M Pl T Pa
A截面为危险截面
3. 分析危险点：
k1
M W
T
Wt
2
பைடு நூலகம்
2
2
2
0
k2
1 3
2
2 2
2
2 0
r3 1 3
2 42
WM
2
4WTt
2
r3
M2 T2 W
定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
zF ,az ; zF ,az
zF0,az; zF,az0
2.作截面核心的方法
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标；
（3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
z0 y0 1 az a y
式中
ay
i
2 z
yF
az
i
2 y
zF
t c
FFzF A Wy
FyF Wz
§10-5 截面核心
一.截面核心的概念
z0zF y0 yF 1
z
iy2 iz2
z0 y0 1 az ay
ay
i
2 z
yF
az
i
2 y
zF
y
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。
y
5400N
C
B
3600N
C
1120N
B
T B
x
DA x 1800N
6520N
D
5400N
x
A
TAx
(3)按第三强度理论设计轴直径：
1）求第三强度理论相当弯矩：
Mr3 Mw 2T2 Mz2My2T2 0.71261.4240.442813016N 6m 9
2）按第三强度理论设计轴直径：
由： r3
Mr3 W
及绕x轴的扭转
1） x0y面内弯曲（ z为中性轴）
MzB=36000.4=1440N.m
y
2）x0z面内弯曲
（y为中性轴）
z
MyB=11200.4=448N.m
MyD=36000.4=1440N.m
Mz
3)绕x轴的扭转：
T=716.2N.m
z
M
由内力图可见，B轮 y
处为危险截面 T
MwmaxMB Mz2My2
[例10-5]圆截面的截面核心
（1）作中性轴Ⅰ，az R,ay （2）求载荷点① ，
zF
iy2 az
R2 R
4R 4
yF
iz2 ay
0
（3）按对称性求各载
荷点，并依次连接。
zR
•
Ⅰ
[例9-6] 截面的中性轴 如图，求载荷点。
•①
R
y
中性轴
CL11TU12
§10-6 扭转与弯曲的组合变形 一.引例
解:(1)简化外力： 外加 :T 9扭 5 N 4 9矩 9 5 7 .5 4 7 9 .2 1 N m 6 n 100
又： T(FP1FP2)D 2
FP139,F 0p20FP15400
求出各支反力如图。
(2)分析危险截面：
由计算简图可见，轴 在外力作用下，产生
x0y面内（z为中性轴） x0z面内（y为中性轴）弯曲
§10-4杆的偏心拉伸（压缩）
一.引例
房子的柱， 桥墩。
zF
yF zF y
Fz
Fy F y
Fz F
d c
d c
CL11TU11
二.偏心拉伸的应力计算
F
Z
z
Mz
y
y
z
My
y
F
Fz F
Fy F
FN F
AA
z
y
Myz FzFz
Iy
Iy
Mzy FyFy
Iz
Iz
FN MyzMzy
A Iy Iz