近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---= 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶(2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的 个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 G a ∈故 G a a a a n m ∈K K K ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: n m a a = )(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同?证 不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-=对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{K =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成ba b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?证 (1) :τ b ax x +→d cb ca +,是有理数 0≠ca Θ 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax +而 εττ=-1所以构成变换群. 又 1τ: 1+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ )(1a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律: 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

证 设ε是是变换群G 的单位元G ∈τ ，G 是变换群，故τ是一一变换，因此对集合 A 的任意元a ，有A 的元b ， ))(()(a a τεε==a b b ==)()(τετ 另证 )()(1x x ττε-= 根据.7.1习题3知x x =-)(1ττ5. 证明实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵乘法来说，作成一个群。

证 G ={实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵}G B A ∈, 则11--A B 是AB 的逆从而 G B A ∈,对矩阵乘法来说，G 当然适合结合律且E （n 阶的单位阵） 是G 的单位元。

故 G 作成群。

6 置换群1. 找出所有3S 的不能和)(123231交换的元.证 3S 不能和)(123231交换的元有 )(),(),(123321123213123132 这是难验证的. 2. 把3S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积 解: 3S 的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) )()(11121i i i i i i k k k K Λ--= 证(1) ))((121m k k i i i i i ΛΛ+=)(11211132nm m k k n m m k i i i i i i i i i i i i i ΛK ΛΛK K ++++)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i K K K K ΛΛ+=++++++=()(121211132132ni i i i ii i i i i i i ii i i n m m k k k m k k k K ΛKK Λ+++++++又 m k k i i i Λ21(++))(21k i i i Λ=)(12121113221nm m k k k nm k k k k i i i i i i i i i i i i ii i i K ΛΛΛΛΛ+++++++)(112111132nm m k k n m m k i i i i i i i i i i i i i i ΛΛΛΛΛΛ++++=)(121211132132n m m k k k nm k k k i i i i ii i i i i i i ii i i ΛΛΛΛΛK +++++++,故))(())((211121k m k m k k i i i i i i i i i i ΛΛΛΛ++=(2) )())((11121i i i i i i i k k k =-ΛΛ,故)()(11121i i i i i i k k k K Λ--=. 3. 证明一个K 一循环置换的阶是K.证 设)()(2113221kii i i i i k i i i ΛΛΛ==π…………设k h 〈, 那么 )()(111i k hh i i i i h ≠=+ΛΛπ５． 证明n S 的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n Λ这1-n 个２－循环置换 中的若干个乘积。

证 根据.6.2定理２。

n S 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积而我们又能证明同时有)1)(1)(1()(111i i i i i l l =, 这样就得到所要证明的结论。

则)(1132ni i i i ΛΛ=π )(1111kk i i i i ΛΛ-=-π7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。

证)(a G ∈ m a ，G a n ∈ 则m n m n n m n m a a a a a a ===++2． 假设群的元a 的阶是n ，证明r a 的阶是dn这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子证 因为d n r =),( 所以,,11dn n dr r ==而 1),(11=n r 3.假设a 生成一个阶n 是的循环群G 。

证明r a 也生成G ，假如1),(=n r (这就是说r 和n 互素)证 a 生成一个阶n 是的循环群G ，可得生成元a 的阶是n ，这样利用上题即得所证，或者，由于1),(=n r 有1=+tn srn r tn sr tn sr a a a a a )(===+ 即)(r a a ∈故r a a )()(=4 假定G 是循环群，并且G 与-G 同态，证明-G 也是循环群。

证 有2。

4。

定理1知G 也是群， 设 G 且-=a a )(φ(φ是同态满射)--∈G b 则存在G b ∈使-=b b )(φ ka b = 因而G ∽-G故k ka a -=)(φ 即ka b -=)(φ 因而k a b --= 即?=（?）5．假设G 是无限阶的循环群，-G 是任何循环群，证明G 与-G 同态。

证 ⅰ）设-G 是无限阶的循环群，)(a G = )(--=a G 令ττφ-=a a )(且)()()(ττττφφφa a a a aa a s s s s ===⋅--+-所以G ∽-Gⅱ）设)(--=a G 而-a 的阶是n 。

令ψ：11k h a a -→ 当且只当111k nq h +=,n k 〈≤10易 知ψ是G 到-G 的一个满射设k nq k k +=+21则212121)(k k q q n h h ++=+k q q q n +++=)(21 那么 k h h a a a -→212121k k k k qk qa a aa a --+-+--===G ∴∽-G8 子群1．找出S3的所有子群证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(。

ⅰ）S3本身及只有单位元)1(都是子群ⅱ）包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2==ij ij ij2H ={)12(),1(}，3H ={)13(),1(}， 4H ={)23(),1(}亦为三个子群ⅲ）包含)1(及两个3—循环置换的集合是一个子群)()(2ijk ijk =， )1())((=ikj ijk 5H ={)132(),123(),1(}是子群，3S 有以上6个子群，今证只有这6个子群，ⅳ）包含)1(及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijk ik ij =不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因)()(2ikj ijk =ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群 因)())((ik ijk ij =ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若)(),(ik ij 出现 则)(0)((jk ijk ij = 故3S 有且只有6个子群。