练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
被认为是历史上第一个使 用弯矩图的人
例2、简支梁受集中载荷作用
a
写内力方程，并画内力图 (1)．确定约束力
F x2C
l
b
FAY
x1
FBY
M ＝0
A
力偶矩矢： 与杆件的轴线垂直。
3、支座简化
固定铰支座
支座简化
活动铰支座
支座简化
固定端
4、梁的基本形式—— 简支梁
钢轨约束
梁的基本形式—— 外伸梁
梁的基本形式—— 悬臂梁
静定梁的基本形式
简支梁
外伸梁
悬臂梁
§4-3
剪力和弯矩
一、弯曲变形时横截面的内力
FAy
FBy
M
FS
FN
FAy
F 0 F 0 M 0
x y c
FN 0
FS FAy F1
M FAy x F1 ( x a)
弯曲变形时横截面的内力 M FS
FN
FBy
FS
//A
剪力：
M
与横截面相切的分布内力系的合力； M 轴线 弯矩： 与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。
二、内力的大小
1、剪力大小= 截面一侧所有外力的代数和。 M
M ( x) 2Pa Px ( a x 2a )
FS
x
a 建立坐标系 b 确定控制截面
c 作图
x
-P
M
Pa
仔细观察内力图的特点
总结7
7、剪力=0的一段梁内， 弯矩保持为常量；
m=Pa
A
FS
P B C
x
M
Pa
-P
x
练习：写出下列各梁的内力方程、并作内力图
P a a M=Pa
1
q
2
2a a
外力的作用线与杆件的轴 线垂直；
弯曲变形的变形特点
轴线由直线变为曲线； 梁： 以弯曲变形为主的杆件。
平面弯曲
条件： 结果：
所有的载荷作用在纵向对称面内； 梁的轴线 是纵向对称面内的一条平面曲线。
平面弯曲的条件
•具有纵向对称面； •外力都作用在纵向对称面内； •梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能、 外力 均对称于杆件的纵向对称面；
对称弯曲一定是平面弯曲； 但平面弯曲不一定是对称弯曲
常见构件的纵向对称面
§4-2
1、梁本身的简化
受弯杆的简化
以轴线代替；
2、载荷的简化
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
集中载荷与均布载荷实例
分布载荷实例
线形分布载荷；
力偶实例
0 x1 a
0 x2 b
x2
FBY
M x2 ＝ FBy x2
0 x2 b
(3). 画内力图
a
M
FS x1 ＝ M / l
b
0 x1 a
M x1 ＝ Mx1 / l
FS x2 ＝ M / l
M /l
x
0 x1 a
0 x2 b
a 建立坐标系
CB
FS
Fb / l
Fa / l
M
x
b 确定控制截面
Fab / l
x
c 作图
危险截面位置 集中力作用点的左或右侧截面
仔细观察内力图的特点
控制截面： —外力规律发生变化的截面
集中力作用点、
外力偶作用面、
终点等。
分布载荷的起点、
写内力方程时注意事项
1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程；
FS
M /l
M x2 ＝ Mx2 / l
a 建立坐标系
0 x2 b
M
Ma / l
x
b 确定控制截面
c 作图
仔细观察内力图的特点
Mb / l
总结5、6
5、剪力连续变化 过零点： 弯矩取得极值；
ql / 8
2
FS
M
ql / 2
ql / 2
6、集中力偶处
剪力图
弯矩图
不变；
突变；
FS
M
M ( x) M Fs ( x) dx
弯矩图发生突变，
FBy＝Fa/l FAy＝Fb/l
(2)．写内力方程 FAY x1
M ＝0
B
FS x1 ＝FAy
0 x1 a
M x1 ＝FAy x1
FS x2 ＝ FBy
FBY
0 x1 a
a x2 l

AC段
l-x2
M x2 ＝FBy l x2
8KNm
1m
1m
1m124KNFra bibliotek4KN/m
q=1KN/m
2m
1m
1m m
2m
13 q 2a q a
M=qa2
a
a 14
a
P
q 15 a a a
M=2qa2
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
dx M(x) Fs(x)
M(x)+dM(x)
Fs(x)+ dFs(x) q(x)
载荷集度、剪力和弯矩关系：
0 x l
(3)、作内力图
FS x ＝ql / 2 qx 0 x l
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2
a 建立坐标系
FS ql / 2
0 x l
a/2
x
b 确定控制截面
c 作图 危险截面位置 跨度中点。
x
ql / 2
M
ql 2 / 8
2、各段的分界点为各段梁的控制截面。 3、x截面处必须是任意截面；
4、x截面处必须是远离外力的作用点；
5、写出x截面处的内力就是内力方程， 同时确定定义域。
总结1 1、简支梁的两端 悬臂梁的自由端：
剪力的大小 =集中力的大小； 剪力的方向： 左上右下 弯矩大小 如果没有外力偶矩时，弯矩恒等于零； 有外力偶矩时， 弯矩外力偶矩的大小 弯矩方向： 满足左顺右逆。
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
载荷集度、剪力和弯矩关系：
dFs ( x) q ( x) dx
dM ( x) Fs ( x) dx
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
1、q(x)＝0: Fs=常数， 剪力图为直线；
M=Pa
P 3 a a M=Pa
q 4
a
a
5
P
a a a
P
6
a M
a
q 7 a a a
P=qa
8
4KN 2m
8KN 2m
3KN/m
2m
4m
q=30KNM/m
9 1m
P=20KN
q=30KN/m 1m
1m
1m
10
q=1KN/m
P=2KN M=10KN/m 4m 4m 3m P=2KN
4m
10KN 11
M(x) 为 x 的一次函数， 弯矩图为斜直线。
Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； 2、q＝常数，
M(x) 为 x 的二次函数， 弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0）， 抛物线呈凹弧； 下凸。
分布载荷向上（q < 0）， 抛物线呈凸弧; 上凸。
3、 剪力Fs=0处， 左右两侧剪力变号 弯矩取极值。
M ( x) Fs ( x) dx P
弯矩图发生转折。
梁上作用集中力偶时
Fs ( x) ( Fs ( x) Fs ( x)) 0
Fs ( x) 0
dx M(x) Fs(x) M(x)+ ΔM(x) Fs(x)+Δ Fs(x) M
集中力偶作用处， 剪力图不变。
M ( x) Fs ( x) dx M (M ( x) M ( x)) 0