↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑第一讲 整数问题 第1课 数的整除一、知识要点1. 整除——因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数。
（2）1是任何整数的因数。
3. 数整除的性质例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。
例如：如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。
必要条件：（1）a 、b 、c 三个数是整数 （2）b ≠0 （3）a ÷b=c结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a ，则a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的因数。
记作：b ｜a例：如果7｜14，14｜28，那么7｜28。
4.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。
例：1864能否被4整除？解：1864=1800+64，因为4｜64， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。
例：29375能否被125整除？解：29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
(奇数位指：这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……)例：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。
因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。
因此13574是11的倍数。
例：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。
因此1059282是7的倍数。
例：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。
二、典型例题详解猜猜会是什么数？【例1】：一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？解：先将856，看做856ab。
∵3｜856ab，则3｜8+5+6+a+b，3｜19+a+b，∴a+b=2或a+b=5或a+b=8。
∵4｜856ab，则4｜ab，∴ab=偶数∵5｜856ab，则b=0或b=5，又∵ab为偶数，∴b=0∵a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，∴a=2或a=5或a=8当a=2，b=0时，这个数为85620；当a=5，b=0时，这个数为85650；当a=8，b=0时，这个数为85680。
答：五位数中最小的一个是85620。
【例2】：一本老账本上记着：72只桶，共67.9元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。
解：先将67.9，看做整数a679b。
∵72=8×9，且（8，9）=1，∴8｜a679b，且9｜a679b。
若8｜a679b，则8｜79b，所以b=2。
若9｜a679b，b=2，则9｜a6792，9｜a+6+7+9+2，9｜a+24，所以a应是3。
所以这个数应是答：这笔账应是元。
【例3】：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。
先后填入的三个数字的和是多少？[方法一] 试商法解：[方法二] 倍数特征解：三、课后作业1. 在中填入适当的数字，使所组成的数能够被4整除。
78 4 7653 8633. 一个六位数2356是22的倍数，那么这样的六位数中，最大的一个是多少？2. 71450至少加上多少后就能被4整除？4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只元。
你能算出热水杯的单价吗？第一讲整数问题第2课倍数与因数（一）一、知识要点1.质数与合数质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。
（素数）合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：30分解质因数。
解：30=2×3×5 答：2、3、5是30的质因数。
分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89、97.3.公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。
公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。
几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的。
4. 最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。
a 、b 的最大公因数=(a ，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。
a 、b 的最小公倍数=[a 、b]（18，30）=2×3=6 [18，30]=2×3×3×5=90 二、典型例题详解【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解： 30=2×3×5 24=2×3×2×2 42=2×3×7（30，24，42）=2×3=6（人） 30÷6=5（个）24÷6=4（个） 42÷6=7（个） 5＋4＋7=16（个）答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。
【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？1 8 3 02 9 335用公有的质因数2除 用公有的质因数3除 除到两个商是互质数为止15 用短除法计算：12=2×2×3[16，12]=2×2×2×2×3=48（厘米）48÷16=3（块）48÷12=4（块）3×4=12（块）答：最少需要12块扣板。
【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”求出甲、乙现在的年龄。
解：∵甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍；∵当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍；∵当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍；∵当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍；∵当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍；∵当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁）60÷（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。
【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是a、b、c∵a、b、c两两不互质，且a＜20，b＜20，c＜20，则两两间的质因数互不相同且乘积小于20（a，b）=2或（a，b）=3 或（a，b）=5；（a，c）=2或（a，c）=3 或（a，c）=5；(b，c）=2或 (b，c）=3 或 (b，c）=5；∴a，b，c三数有可能是2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。
又∵（a，b，c）=1；（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。
三、课后习题1. 求56，36，284的最小公倍数。
3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。
三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？5. 把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？2. 有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？4. 有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。
中午12点时既亮灯又响铃。
下次既亮灯又响铃在几点？6. 用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？第3课倍数与因数（二）一、知识要点1.最小公倍数与最大公因数之间的关系二、典型例题详解【例1】甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。
解：设乙数是a36×a=4×288a=4×288÷36a=32答：乙数是32。
【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。
【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：设这两个数分别为a、b126÷21=66=3×2 或6=1×6a=3×21=63 a=1×21=21b=2×21=42 b=6×21=12663+21=84 21+126=147答：这两个数的和是84或147。