函数的概念与表示
一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：
（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；
（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射
映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数
分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究
探究一：求函数的定义域 例1：
1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。

2、函数y=
25
3
x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴
253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤7
2
. 探究二：求函数的解析式 例2．
（1）.（15年新课标2文科）已知函数()3
2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．
【答案】-2 【解析】
试题分析：由()3
2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .
考点：函数解析式
（2）.已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。

解：（1）令
21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1
f x x x =>-． 注：第（1）用换元法；（2）充分利用函数的奇偶性
三、方法提升
1、判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”
2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；
3.求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义
4.求函数解析式： （1）待定系数法； （2）换元法、配凑法；
（3）函数法； 四、 反思感悟
五、课时作业
函数的概念及表示
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题
1. 【15年福建文科改编】已知函数(
)2cos 10cos 222
x x x f x =+． 则函数的解析式为：【A 】 A. +5 B.+5 C.+5 D.+4
2. 函数y=322
--x x 的定义域为（ ）
A.（-∞,-1）∪(3,+∞)
B. [-1,3]
C.(-1,3]
D. (-∞,-1]∪［3,+∞) 答案：D
解析：由 ，得(-∞,-1]∪［3,+∞)，所以选D.
3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=2
2
1x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）
A.1
B.3
C.15
D.30
答案：C
解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(2
1)=
22
)4
1()41(1-=15. 4.今年有一组实验数据如下：
把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2
t-3
B.S=
23log 2t C.S=2
1(t 2
-1) D.S=-2t+5.5 答案：B
解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 5.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）
A.122
+-x x B.1||22+-x x C.|x 2
-1| D.x 2
-2|x|+1
答案：B
解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B. 二、填空题
6.函数f(x)=x
x -+
+21
1的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵⎩⎨
⎧≠-≥+.
02,
01x x ∴x ≥-1且x ≠2.
7. 设函数3,(10)
()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩
，则(5)f ＝ ．
8. 函数33log y x =-的定义域为 ． 9. 函数1
y x x
=+
的值域是 ． 10. 已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =________________.三、解答题
11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值.
解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0.∴f ［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3.∴|a+2|-|a-2|=3. 当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解；当-2≤a ≤2时，有a+2+(a-2)=3⇒a=2
3
；当a ≤-2时，有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a=
2
3. 12.已知函数f(x)=
3
47
23
++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.
解析：当a=0时，函数定义域为R .
当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2
-12a<0,∴0<a<
43.因此a 的取值范围为［0，4
3
）.
13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计
?
解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=
21πx 2
+2x ·
)2
6(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩
⎪
⎨⎧>-->,026,
0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ).
当x=
π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π
+123l
.
14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；
（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R . （2）∵2x+t>0,x ∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x ≤1时，
f(x)≤g(x)⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔,
21,
02t x x t x t ≥1+x -2x(0≤x ≤1)t ≥(1+x -2x)max .
设
U=
-
+1x 2x,m=
1
+x ,则1≤m ≤
2
,x=m 2
-1,
∴
U=m-2(m 2
-1)=-2m 2
+m+2=-2(m-41)2+8
1
+2.∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.
附加题：[实验班]
1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x
f 的定义域为(,0]-∞． 2．函数y=ln(1-x)的定义域为[D]
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1] 3、已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为(B) (A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
4.函数1
)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为（ C ）
A. )21,0(
B. ),2(+∞
C. ),2()21,0(+∞
D. ),2[]2
1,0(+∞。