1P
• 4)求解多余未知力
256 3EI
X1
1280 3EI
0
• 解方程得X1=5KN • 5)绘制最后弯矩图。 • 多余未知力求出后，可在基本结构上按 静定结构计算出结构的最后弯矩为
M M1 X1 M2 X 2 MP
计算出弯矩。再用平衡条件求得剪力和轴力，作 出内力图。
14.3
力法的计算步骤与示例
• 14.3.1
• • • • •
力法的计算步骤
根据以上分析可知，力法的计算步骤如下： 1)确定超静定次数，选择基本结构。 2)列出力法的典型方程。 3)求系数和自由项。 为了求系数和自由项，要分别作出各多余未知力 等于1及荷载单独作用在基本结构上时的内力图或 写出内力表达式，然后用求位移的方法求出结果。 • 4)求多余未知力。 • 5)求杆端弯矩并用叠加法作弯矩图。求剪力、轴 力作剪力图和轴力图。
•
令△11,△12分别表示X1、X2单独作用在基 本结构上时C截面沿X1方向所引起的位移；
•
△21、△22分别表示X1、X2单独作用在基 本结构上时C截面沿X2方向所引起的位移。 由叠加原理可得
• △1=△11+△12+△1P • △2=△21+△22+△2P • 再根据位移条件可得以下关系式：
⑸
超静定结构的解法 • 求解超静定结构，必须综合考虑三个方 面的条件:
（1）平衡条件； （2）几何条件； （3）物理条件。
具体求解时，有两种基本(经典)方法— 力法和位移法。
14.1.2
超静定次数的确定
超静定结构是有多余约束的几何不变体， 其超静定次数等于多余约束的个数。可通过 去掉多余约束使超静定结构转化为静定结构 的方法来确定，去掉多余约束的数目即为原 超静定结构的超静定次数。
1n X n + △11P P 0 2n X n +△ 22P P 0 nn X n + △nP 0 nP
• 以上方程式称为力法的典型方程。方程中的系数 δ ii称为主系数； δ ij(i≠j)称为副系数；△iP 称为自由项。主系数恒为正值，副系数和自由项 可为正、负或零，根据位移互等定理，且有δ ij= δ ji.系数和自由项求出后代入力法方程解得 多余未知力，即可按静定结构计算内力。也可按 叠加公式
11 X1 12 X 2 △ 0 1P 1P 21 X1 22 X 2 △ 2 2P P 0
• 对于n次超静定结构来说，共有n个多余未 知力，每一个多余未知力对应着一个已知 的位移条件，故可建立n个方程。当已知多 余未知力作用处的位移为零时，其力法方 程可写为
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
• 3)求系数和自由项。 • 首先作X1=1和荷载单独作用于基本结构的 弯矩图 M 图和 M 图，如图14· 8(c)、(d)所示。 用图乘法求得系数和自由项如下：
P
256 1 2 11 EI 1 4 4 4 4 4 4 3EI 2 3 1280 1 1 80 4 4 3EI 1P △ =EI 3
qL2 8
M1图
X1 1
MP图
2
6. 将11、 ∆11代入力法方程式(14.2)，可求得
1 2L = EI 2 3 2 1 1 qL =_ ( L) 3L EI 3 2 4
M图
所得的X1结果为正，表明支座反力X1的方向与假设 的方向相同。
多余未知力X1求出后即可用计算静定结构的方法来确定结 构的反力和内力，也可以用下面叠加公式计算原结构的杆端弯 矩：
•
令δ11、 δ21 分别表示当X1=1单独作用在基 本结构上时，C截面沿X1、X2方向的位移，如 图14．7(c)所示；
• δ12、 δ22分别表示当X2=1单独作用在基本结构 上时，C截面沿X1、X2方向的位移，如图 14．7(d)所示；
• △1P、△2P分别表示当荷载单独作用在基本结构 上时，C截面沿X1、X2方向的位移，如图 14．7(e)所示。
14.2.2
力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键在于根据已知的 位移条件建立力法方程。下面就超静定结构力法方程 的形式及建立步骤进行讨论。图1 4．7(a)所示刚架 为二次超静定结构，取图14．7(b)所示的基本结构进 行计算。原结构中支座C为固定铰支座，因而基本结 构中C截面沿X1、X2方向的位移应等于零，即△1=0, △2=0。
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概念 。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计算 超静定结构的方法。
• 对于变形协调条件可表述为：基本结构上多余未知 力的作用点处沿多余未知力方向上的位移应与原结 构对应的位移相等。
1.判断超静定次数： n=1 2. 确定(选择)基本结构。
A
q
EI 原结构 L B
• [例14．1] 试分析图14．8(a)所示刚架，作 内力图。EI为常数。
• 【解】 1)确定超静定次数，选取基本结构。 • 此刚架具有一个多余约束，去掉C支座链 杆并用X1代替，得到基本结构如图14．8(b) 所示。 • 2)建立力法方程。 • 根据原结构C处竖向位移等于零，列方程 如下：
11 X1 0 +△ 1P 1P
第十四章 力法
1 4．1 基本概念 1 4．2 力法的基本原理和典型方程 1 4．3 力法的计算步骤与示例
14.1
基本概念
• 14.1.1 静定结构与超静定结构 •
用静力平衡方程能求出全部反力和内力 的结构称为静定结构。
如下图所示结构，约束反力有三个，而 静力平衡方程也有三个，用静力平衡方程可 以求出全部反力和内力，所以是静定结构。
M M1 X1 M P
其杆端弯矩分别为 MBA=0
M AB X 1 ql
1 2 3 8 1 8 2
2 1 2 2
ql l ql
ql (上侧受拉)
•
以上所述计算超静定结构的方法称为力 法。它的基本特点是以多余未知力作为基 本未知量，并用相应的位移条件列出力法 方程求多余未知力，然后用静力平衡方程 求出内力。力法的绝大部分计算工作是在 基本结构上进行的，正确的选择基本结构 可使计算简化。
3写出变形(位移)条件:
A
q
(a)
基本结构
↑X

B
1
根据叠加原理，式（a） 可写成
(b)
↑
q
11
X1
1P
(b)
q
A EI L B
4 .建立力法基本方程 将 ∆11=11x1 代入(b)得 (14.2) 此方程即为一次超静定结 构的力法方程。 5. 计算系数和常数项
L2
L
qL 2
qL 8
2
↑
q
•
而下图所示结构，其反力有4个，但只 能列3个静力平衡方程，其反力和内力不能 用静力平衡方程全部求出。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
仅用静力平衡方程不能求出全部反力 和内力的结构称为超静定结构。
超静定杆 是哪根?
(1)超静定桁架
(2)超静定梁
A B
P
C
HA
VA RB RC
（3）超静定拱 （4）超静定刚架
⑶
⑷
（5）超静定组合结构
（4）拆开一个单铰，或去掉一个固定铰支座,相当于 去掉两个约束。
•
这种去掉多余约束用相应多余未知力 代替而得到的静定结构，称为原结构的基 本结构。
基本结构定 义!以后常用.

•
注意:同一个原结构，可以有不同形式的基本 结构。(为什么)
14.2
力法的基本原理和典型方程
14.2.1
力法的基本原理
为了使去掉多余约束后的静定结构 的解与原结构一致，必须在去掉多余约 束处加一与多余约束作用相同的力，称 为多余未知力。

去掉多余约束的方法通常有如下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
（2）将刚结改为铰结,或将固定端支座改为固定铰支 座，相当于去掉一个约束。
(3)切断刚性联结，或去掉一个固定支座， 相当于去掉三个约束。