2、系统稳定的充要条件
系统稳定、不稳定时根的分布
3、系统稳定性的判断 （1）稳定判断的必要条件
令系统特征方程为：
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系 数均为正值，且无零系数。
对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值 是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统， 特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而 非充分条件。
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
A0 q
Aj
r Bk
s j1 s p j k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
即：
C t
A0
q j1
Aje pjt
r
eknkt
k 1
Bk
cos
nk
1
2
t
k
r k 1
Ck
sin
nk
1
（2）系统瞬态分量的形式由极点的性质决定，调整时间的长 短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分 量幅值的大小和符号的正负。
（3）如果传递函数中有一极点距坐标原点很近，设为A，而其 余极点与虚轴距离大于5A，称为远极点，则其产生的瞬态分量 可略去不计。 （4）如果有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有 零点，而其它极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以 上，则称此对极点为系统的主导极点。 （5）如果传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，称为偶 极子，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去。 （6）如果所有极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时 间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。极点均位于S左半平 面系统，称为稳定系统。
系统稳定的充要条件为：
ai 0(i 0,1, 2, 3),且a1a2>a0a3
例 已知系统的特征方程为
s3 41.5s 2 517 s 1670 1 K 0
求系统稳定的K值范围
s3
1
517
0
s2
41.5 16701 K
s1 41.5 517 -16701 K
0
41.5
s0
16701 K
tp / d
（3）超调量Mp
M
p
c
t p c c
或M p％
c
t
p c c
100 ％
M p c t p 1 e 1 2 ，只与阻尼比有关！
可反求得：
1
2
ln M p
1
（4）调整时间ts 阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值的误差范围±Δ,并且从
此不再超越这个范围的时间称为系统的调整时间,用ts表示之， 其中Δ为5%或2%。
可用系统的单位脉冲响应函数 gt 来描述系统的稳定性。
对于系统的单位脉冲响应
m
Ks z1
C s G s q
i 1 r
s s p1
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
q
Aj
rB
j1 s p1 k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
（2） 劳斯稳定判据 令系统特征方程为
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
排劳斯表： s n
a0
a2
a4
a6
s n1 a1
a3
a5
a7
s n2 b1
b2 b3
b4
s n3 c1
s2
d1
s1
e1
s0
f1
c2 c3
d2 d3 e2
b1
a1a2 a0a3 a1
2 1
A3 2
1
2 1
2 1
C t
1 A e A e 2 1 nt 2
2 1 nt
3
2、二阶振荡系统阶跃响应的性能指标
二阶系统瞬态响应的性能指标
（1）上升时间
当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值所需的时间，
称上升时间tr 。
ctr 1
1
1 2
e ntr
s6 1 8 20 16 0
s5 2 12 16 0
令Ps 2s 4 12s 2 16
s4 2 12 16 0 s3 0 0 0 s3 8 24 s2 6 16 s1 8 3 0 s0 16
dPs 8s3 24s
ds
s1,2 j 2, s3,4 j2, s5,6 1 j
例 用劳斯判据检验下列方程
C s
n2
s s2 2n s n2
1 s
s
s n
n 2
d
2
s
n
n 2
d 2
C t 1 ent cosdt
1 2
sin dt
t 0
=1
ent
1 2
sin dt
,
arccos
阻尼比和固有频率
当 0时,s1.2 jn
对响应的影响！
则，C t 1 cosdt
（2）临界阻尼 1
例 已知系统的特征方程为
s3 2s2 s 2 0 ，试判别相应系统的稳定性
解：列劳斯表 s3 1 1 0
s2 2 2 0
s1 0
s0 2
方程中有对虚根，系统不稳定。
例 已知系统的特征方程为
s3 3s 2 0
试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布 解：列劳斯表
s3 1 -3 0
单位脉冲响应： y (t)
n ent sin( 1 2
1 2nt)
为一衰减振荡信号，幅值衰减为指数形式。
4、二阶振荡系统的单位斜坡响应
C s
n 2
s2 s2 2n s n 2
c(t)
t
2 n
ent
n 1 2
sin(d t
),
2 arccos
稳态误差：
ess
2 n
四、高阶系统的响应
, b2
a1a 4 a0a5 a1
,
b3
a1a 6
a0a7 a1
,L
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7 a1b4 b1
,L
（1）若表中第一列的系数均为正值，则系统稳定； （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数 等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为 不稳定。
控制工程基础
——郭世伟
第四章 控制系统的时域响应分析
一、控制系统的时域响应
R(s) G(s) C(s)
C（t）的求解方法 C(s) R(s) G(s)
典型测试信号；时间幂函数信号，谐波信号，指数信号等。 典型系统：一阶惯性系统、二阶振荡系统，以及一般高阶
系统； 系统时域响应函数的结构形式与特征；瞬态响应与稳态响
T
1
Ct 1 eT t
一阶系 统单位 斜坡响 应
调整时间：ts 3T (5%误差带) ts 4T (2%误差带) 稳态误差：ess e() 0
一阶系统单 位阶跃响应
3、单位斜坡响应
令R
s
1/
s2时, C
s
s2
1
1
Ts
1 s2
T s
T2 1 Ts
Ct
t
T
1
e
1 T
t
e(t) T (1 et /T )
例 一调速系统的特征方程为
s3 41.5s 2 2.3104 0
s3 1 517
0
s 2 41.5 2.3104
s1 - 38.5
s0 2.3 104
表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有 二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
对于三阶系统，特征方程为：
a3s3 a2s2 a1s a0 0
欲使系统稳定则应满足
41.5 517 -16701 K＞ 0
16701 K＞ 0
1＜K＜11.9
排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：
1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项 不全为零。解决的办法是以一个很小正数ε来代替为零的这 项。然后完成劳斯表的排列。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示方程中有一对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变 化，其变化的次数等于该方程在S平面右方根的数目。
一阶系统单位 斜坡响应
线性定常系统的性质：
（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的 时域响应的导数；
（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的 时域响应的积分；
输入信号的选取。 由典型信号的响应曲线特征，可推知系统特征参数、 结构特征。
三、二阶系统的时域响应
Cs
n2
R s s2 2n s n2
为系统的阻尼比;n为系统的无阻尼自然频率
根据阻尼比的大小分类，对应的极点分布情况
s1.2 n n 2 1
欠阻尼时，d n 1 2为阻尼振荡频率
特征根分布与响应形式之间的关系
1、二阶系统的单位阶跃响应
（1）欠阻尼 0 1 时 s1.2 n jn 1 2 n jd
令Rs 1/ s，则
2s3 10s2 13s 4 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方
解： 列劳斯表 又令s z 1代入方程
q
r
gt
Ajepjt
B eknkkt k
cosnk
1