第2讲 平抛运动ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU知识梳理·自测巩固知识点1 平抛运动1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在__重力__作用下的运动。

2．性质：平抛运动是加速度为g 的__匀变速__曲线运动，其运动轨迹是__抛物线__。

3．平抛运动的条件：(1)v 0≠0，沿__水平方向__；(2)只受__重力__作用。

4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__自由落体__运动。

5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t ，有：(1)位移：分位移x ＝__v 0t __；y ＝__12gt 2__合位移x 合＝x 2＋y 2 ＝__(v 0t )2＋(12gt 2)2__，tan φ＝__gt2v 0__φ为合位移与x 轴的夹角。

(2)速度：分速度v x ＝__v 0__；v y ＝__gt __ 合速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋(gt )2，tan θ＝__gt v 0__ θ为合速度v 与x 轴的夹角。

思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。

[答案] 不相等。

θ>φ。

tan θ＝2tan φ。

知识点2 斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0沿__斜向上方__或__斜向下方__抛出，物体只在__重力__作用下的运动。

2．性质：加速度为__g __的匀变速曲线运动，轨迹是__抛物线__。

3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__匀变速直线__运动的合运动。

思维诊断：(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

( × )(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。

( × ) (3)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。

( √ ) (4)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。

( × )(5)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。

( × ) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。

( × )(7)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。

( √ )自测巩固ZI CE GONG GU1．(2020·吉林东北师大附中一模)在空中同一位置水平抛出初速度不同的两个小球(忽略空气的影响)，则从抛出开始( D )A ．下降相同高度时初速度较大的球的速度与水平方向的夹角大B ．下降相同高度时初速度较小的球在竖直方向上的速度较小C ．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较大D ．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较小[解析] 设球的速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v yv 0，由2gh ＝v 2y 可知，下降相同高度时v y 相同，初速度越大则球的速度与水平方向的夹角越小，故A 、B 错误；由球在水平方向做匀速直线运动可知t ＝xv 0，初速度大的小球所用时间少，由v y ＝gt 可知，初速度较大的小球，竖直方向上的速度较小，故C 错误，D 正确。

2．从同一高度同时将a 、b 两不完全相同的小球分别竖直上抛和斜上抛，它们的初速度大小相同；若不计空气阻力，则以下说法中正确的是( A )A ．在空中运动的过程中，两球的加速度相同B ．两球触地时的瞬时速率不同C ．两球在空中运动的时间相同D ．两球运动的位移相同[解析] 两球在空中都只受重力作用，两球的加速度都为重力加速度g ，A 项正确；因两球都只受重力，则机械能均守恒，据机械能守恒定律有12m v 20＋mgh ＝12m v 2t ，可知两球触地时的速率相同，B 项错误；因两球以相同的速率分别竖直上抛和斜上抛，则知两球在空中运动的时间不同，C 项错误；因两球初始时运动方向不同，则它们发生的位移不同，D 项错误。

3．一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g 。

根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是(C)A．水平位移大小B．下落高度C．落地时速度大小和方向D．从抛出到落地的位移大小[解析]飞行时间不取决于水平位移，只取决于下落的高度，所以A错误；但初速度(水平速度)与下落高度无关，所以B错误；落地速度包括水平速度和竖直速度，水平速度即初速度，竖直速度与飞行时间有直接联系，C正确；合位移取决于初速度和飞行时间两个因素，但知合位移的大小无法确定初速度和飞行时间这两个量，所以D错误。

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO核心考点·重点突破考点一平抛运动规律的应用关于平抛运动必须掌握的四个物理量物理量相关分析飞行时间(t)t＝2hg，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关水平射程(x)x＝v0t＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关落地速度(v)v＝v2x＋v2y＝v20＋2gh，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝v yv x＝2ghv0，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关速度的改变量(Δv)因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示乒乓球(忽略空气的影响)。

速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是(C)A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大[解析] 发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h ＝12gt 2，可知两球下落相同距离h 所用的时间是相同的，A 错误；由v 2y ＝2gh 可知，两球下落相同距离h 时在竖直方向上的速度v y 相同，B 错误；由平抛运动规律，水平方向上，x ＝v t ，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t 较少，C 正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，D 错误。

〔类题演练1〕(2019·辽宁东北育才学校月考)一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是( C )[解析] 斜抛运动由于只受重力，水平速度保持不变，而竖直分速度均匀变化。

根据Δv ＝at ＝gt 可知，速度矢量的变化方向与加速度的方向相同，而斜抛运动的加速度为重力加速度g ，故速度矢量的变化方向应沿竖直方向，所以速度矢量末端应在同一竖直线，故C 正确，A 、B 、D 错误。

考点二 平抛运动问题的常见解法平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

再结合使用推论法，全程应用动能定理等。

(一)分解速度求解平抛运动问题对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tan θ＝v y v x ＝gtv 0(θ为t 时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v 0、时间t 、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。

例2 (2019·湛江模拟)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A 点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B 点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB 两点高度差h ＝1 m ，忽略空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2，则球刚要落到球拍上时速度大小为(C )A ．2 5 m/sB ．215 m/sC ．4 5 m/sD ．4315 m/s[解析] 根据h ＝12gt 2得t ＝2h g＝2×110s ＝15s ；竖直分速度：v y ＝gt ＝10×15m/s ＝20 m/s ，刚要落到球拍上时速度大小v ＝v ycos 60°＝4 5 m/s ，C 正确，A 、B 、D 错误。

(二)分解位移求解平抛运动问题对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝12gt 2v 0t (α为t 时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v 0、运动时间t 和夹角α间的大小关系。

例3 (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( AB )A ．若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0g tan θB ．若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0g tan θC ．若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0g tan θD ．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t ＝2v 0tan θg[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝x y ＝2v 0gt ，即t ＝2v 0g tan θ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝v 0gt ，即t ＝v 0g tan θ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg，C 错误。

(三)利用推论法求解平抛运动问题 平抛运动的两个重要推论(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。

其推导过程为tan θ＝v y v x ＝gt 2v 0t ＝yx2。

(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。

如图乙所示。

其推导过程为tan θ＝v y v 0＝gt ·t v 0·t ＝2yx ＝2tan α。

例4 (2018·全国卷Ⅲ，17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。

甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( A )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍[解析] 如图所示，可知：x ＝v t x ·tan θ＝12gt 2则x ＝2tan θg ·v 2即x ∝v 2甲、乙两球抛出速度为v 和v2，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为 2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1。