从高中数学角度出发的圆锥曲线确切线作法的几种思考江苏省淮北中学 连少雷许多资料文献，都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。

那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的初等方法或是尺规作法呢？ 先看比较特殊的情况说起，过圆锥曲线上一点的切线方程的一种初等求法：先看一个具体问题：求过椭圆13422=+y x 上一点)23,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用∆方法，即设切线方程为)1(23-=-x k y ，代入13422=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程：子选手 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ，通过判别式∆＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得21-=k ，故所求切线方程为042=-+y x ． 这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊）证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．（１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程．（２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．设双曲线C 方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则方程（＊）：02022020202=-+-x b y a y y a x x b ．当00≠y 时，其斜率0202y a x b k =，因渐近线斜率为a b±，若a b y a x b =0202 或aby a x b -=0202，则,000=-ay bx 或,000=+ay bx 从而0202202=-y a x b ，与),(00y x P 在双曲线C 上，满足22202202b a y a x b =-矛盾，故直线l 与双曲线的渐近线不平行；又当00=y 时，双曲线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为双曲线C 的切线方程．（３）当0),(=y x f 表示抛物线时，只要断定直线l 与抛物线的对称轴不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．设抛物线C 的方程：)0(22>=p px y ，则方程（＊）：00200=-+-px y y y px ．当00≠y 时，其斜率00≠=y pk ，故直线l 与抛物线C 的对称轴不平行；又当00=y 时，抛物线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为抛物线C 的切线方程．综上所述，方程（＊）为圆锥曲线C 上过P 点的切线方程． 下面用此命题给出的方法解决本文一开始提出的问题．解：椭圆13422=+y x 关于点)23,1(P 对称的椭圆方程为13)3(4)2(22=-+-y x ， 将这两个椭圆方程相减：-+3422y x 03)3(4)2(22=---y x ， 整理得042=-+y x ，即为所求的切线方程．更为一般的情况，过曲线外一点的曲线的切线如何画出呢？我们就从圆锥曲线的切线与过切点的弦来看。

曲线如果在某一点处可导，那么该点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率。

以椭圆型函数为例，设)()000,,,y a b x a P x y =>>≤为其图象上异于长轴端点的任意一点，利用复合函数求导法则，2020x x b x y a y ='==-；对于)0,y a b x a =>>≤，也有202x x b x y a y ='=-。

如果利用复合函数求导法则，对222222220,220b x a y a b b x a y y '+-=+⋅=有，当()00,P x y 为其上一点，()0200200x x b x y y a y ='=-≠。

这样在()00,P x y 处的切线方程为222200b x x a y y a b +=。

当00y =时，切线为x a =±，也适合上式。

故椭圆曲线上任意一点处的切线方程为222200b x x a y y a b +=。

()00,P x y 处切线方程的纵、横截距分别为200,b E y ⎛⎫' ⎪⎝⎭、20,0a D x ⎛⎫' ⎪⎝⎭，具有对称性。

当()00,P x y 在椭圆外，即22222200b x a y a b +>时，过()00,P x y 的切线有两条。

设切点为()11,R x y 、()22,S x y ，则切线PR 、PS 方程分别为222211b x x a y y a b +=和222222b x x a y y a b +=，()00,p x y Q 在切线上，故有22221010b x x a y y a b +=和22222020b x x a y y a b +=，此两式又表明()11,R x y 、()22,S x y 满足222200b x x a y y a b +=，故对应于点()00,P x y 的切点弦RS 所在直线方程为222200b x x a y y a b +=，切点弦的纵、横截距也为200,b E y ⎛⎫' ⎪⎝⎭、20,0a D x ⎛⎫' ⎪⎝⎭，切点弦的纵、横截距的对称性，为我们寻找切点的位置，统一圆锥曲线的尺规作法提供了思路。

（1）椭圆的切线设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点()00,P x y 为椭圆外一点，切线PR 、PS 分别与椭圆相切于R 、S 点，则切点弦RS 所在的直线方程为222200b x x a y y a b +=。

利用平面几何中直角三角形的比例中项定理，结合对称找点法，可以利用直尺和圆规确定两个切点的位置。

作法：⑴分别在两坐标轴上截得()0,0M x 、(),0B b 和()00,N y 、()0,A a 四点； ⑵作DA AM ⊥，,DA x D EB BN ⊥与轴交于，EB 与y 轴交于E ；⑶作D 、E 关于原点对称点D '、E '，作直线D E ''与椭圆相交于R 、S ； ⑷连结PR 、PS ，则PR 、PS 为椭圆过点P 的切线。

证明：如图⑴所示，由作法，,DA DM AO AM ⊥⊥Q 又，由比例中项定理得20D a x x =⋅，必有0D x x 与异号，2,D a x x ∴=-D D 'Q 与关于原点对称，20D a x x '∴=有，同理2E b y y '=，D E ''∴直线方程为00221x x y ya b+=，故切点弦所在直线方程为222200b x x a y y a b +=，相应地，直线PR 、PS 与椭圆相切于R 、S 点。

证毕。

特别地，当()00,P x y 在椭圆上时，如图⑵所示，切点弦退化为切线。

只须找到切线之横截距20,0a D x ⎛⎫' ⎪⎝⎭。

作PM x ⊥轴于()0,0M x ，()0,A a ，作DA AM ⊥，DA 交ox 于D 点，D 关于原点的对称点为D '，连PD '，即椭圆C 在点P 处的切线。

（2）双曲线的切线设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线C 外（不图（1）)00,x y含焦点区域），且不在渐近线上的任意一点，PR 、PS 是过点P 的双曲线C 的两条切线，则切点弦所在直线方程为222200b x x a y y a b -=。

直线RS 的纵横截距分别为200,b y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、20,0a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

作法：⑴分别在x 、y 轴上截得()0,0M x 、(),0B b 和()00,N y 、()0,A a 四点； ⑵作DA AM ⊥，,DA x D EB BN ⊥交轴交于，EB 与y 轴交于E ；⑶仅作D 关于原点对称点D '，连结DE '与双曲线C 交于R 、S 两点；⑷连结PR 、PS ，则PR 、PS为双曲线C 的过点P 的两条切线。

证明：如图⑶所示，由作法，()0,0M x 、()0,A a ,DA AM AO DM ⊥⊥Q ，∴有20D a x x =⋅，Q 0D x x 与异号，2,D a x x ∴=-D D '又与关于原点对称，20D a x x '∴=，即20,0a D x ⎛⎫' ⎪⎝⎭，同理200,b E y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴直线D E '方程为222200b x x a y y a b -=，即切点弦ＲＳ所在直线方程，故PR 、PS 为双曲线C 过点P 的两条切线。

证毕。

特别地，当()00,P x y 在双曲线上时，且异于顶点时，如图⑷所示，作法简化。

只须作PM ox ⊥，点()0,A a ，作DA AM ⊥，DA 交x 轴于D ，D 关于原点的对称点为D '，连PD '，则PD '与双曲线C 相切于P 点。

（证略） （３）设抛物线的切线设抛物线C 的方程为()220y px p =>，()00,P x y 为抛物线C 外（不含焦点区域，且不在对称轴上）的任意一点，PR 、PS 为抛物线C 的过P 点的两条切线，R 、S 为切点。

则切点弦方程为()00y y p x x =+，利用对称法作切线步骤如下：作法：⑴作PD ox ⊥于D ，作D 点关于原点的对称点()0,0D x '-；⑵作直线//PQ ox ，与抛物线C 交于Q ，作P 关于Q 的对称点M ； ⑶连MD '，交抛物线于R 、S 两点；⑷作直线PR 、PS ，即为抛物线的过点P 的两条切线。