x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
O
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
P点两直角线段夹角的变化 xy
B
A
B
u u dy y
tan
v
v x
dx
v
dx
v x
tan
u
u y
dy
dy
u
u y
xy
v x
xy
cos(N, x) l cos(N, y) m
dx ds m y dy ds l
B
s
YN
N
外法线
由微元体平衡：
Fx 0, xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0
xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
整理得：
X N l x m yx
（3）
Fy 0, ydx 1 xydy 1 YN ds 1 0
O
y x
yx
yx
y
xy
y
P D
yxA
X
x
x
x
dx
xyB
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
(
xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
整理得： YN m y l xy
（4）
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
N lYN mX N
将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： y
N l 2 x m2 y 2lm xy （5）
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
应力主向的计算公式：
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2
y
（8）
由 1 2 x y 得
2 y (1 x )
tan 2
xy 1
x
显然有 tan1 tan2 1
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
第三章 平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
§3.1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
b
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
t a,t b —— 平板
x
z
t
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
不能确定u、v。
（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
（3） xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
求解得： m x
l
yx
m yx l y
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
xy N
N
y
B
s
YN
N
X N l x m yx YN m y l xy
N lX N mYN
N lYN mX N
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
xy
xy
x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
x
PA dx PB dy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知： x , y , xy yx
体力：X ，Y
AC面：
xxyxxxxyddxx212!1!2x2x2xx2xy(d(dxx)x2)x2dx
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
（4）最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
N l 21 m2 2 l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y （18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（7）
tan 1
dy)dx 1
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y xy Y 0
y x
平面问题的平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0 （2）
x y
x O
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
y y (x, y)
—— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
水坝
(1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
注：
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y 的函数。
1 xy
x
tan 2
xy 2 y
（8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
§3.2.3 几何方程 刚体位移
建立：平面问题中应变与位移的关系 —— 几何方程
1. 几何方程
O
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动；
m x
l
yx
tan 1
sin 1 cos1
cos(90 1) cos1
m1 l1
1 x xy
(或 xy ) 1 y
设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、
m2，则
tan 2
sin 2 cos2
cos(90 2 ) cos2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
Fx 0
x O
(
x
x
x
dx)dy 1
xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
x yx X 0
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
x y
Fy 0
(
y
y
y
u y
整理得：
O
x
u x
P
v
y
v y
（9）
dy
xy
v x
u y
——几何方程
y
说明：
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的 关系，是弹性力学的基本方程之一。
x
u
dx
P A
B
B
u u dy y
u u dx x
v v dx x
A
（2） 当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , xy，
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0