当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。


由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
（3）物体所受的几何约束条件沿厚度不变。
设薄板的厚度为t，以薄板的中面为坐标面，把厚度方向取 作z轴建立坐标系oxy。
图 2-1
根据条件可得如下结论： t 由于z 2 时的板面上无外力作用，则边界条件成为:
( z )
t z 2
0， ( xz )
t z 2
0， ( yz )
t z 2
0
又由于板很薄，外力又不沿厚度变化，则板内各点的以上 三个应力分量都极小，可以认为小到零的程度，即：
设斜面AB的长度为ds，则PB面及PA面的面 积分别为 lds 及mds ，而PAB的体积为ldsmds / 2 。
图 2- 4
1.首先，我们来求斜面应力分量（px py）。通过三 角形微分体的平衡条件 Fx 0， Fy 0 ，容易求出： px = lσx + mτyx， py = mσy + lτxy （2-3）
1 1 2 n lm 2 1 l l 2 1 l 2 1 4 2
假设该柱体长度远远大于横向尺寸，以其任 一横截面为xOy平面，纵向为z轴，则其所有 应变分量中，也可推出，而退化为x，y的二 元函数。
进一步可推知，独立的应力分量只 有 x , y , xy ，独立的应变分量只有 , , 独 立的位移分量只有 u, ，共有八个独立未知 量，都是x，y的二元函数。必须指出，平面 应变问题中 z 是存在的，但不独立。
x y xy
在公路、桥梁、建筑工程中，大量实际问题
都可简化为平面问题来研究，特别是平面应 变问题的实例很多，要善于区分。
综上所述，对于平面应力情况，应力分量等 于零，而应变分量一般不等于零；对于平面 应变问题，应变分量=0，而应力分量一般不 等于零。
2.2 平衡微分方程
在弹性力学中分析问题要从
对于上述平衡微分方程，我们应强调说明几点： 1.平衡微分方程表示任一点P（x，y）的平衡条件， （x，y）属于平面域A，所以也代表A 中所有点 的平衡条件。 2.式（2-2）第一式中所有的各项都是 x向的力，第 二式均是 y向的力。式（2-1）又一次导出了剪应 力互等定理。 3.在任一等式中，各项的量纲必须相同，读者据此 可以作为检查公式是否正确的条件之一。
（b）
同理，设σ2与x轴的夹角为a2，可得：
tan 2
xy
2 y
再利用式（2-7），可得：
tan 2
xy
1 x
（c）
由式（b）及式（c）可有，也就是说，σ1的方向与 σ2的方向互相垂直，如图2-4a所示。 4.再进一步求出最大和最小的正应力和切应力 如果以求得任意点的两个主应力σ1和σ2，以及应力 主向，就极易求得这一点的最大与最小的应力。为 了简便，将x轴和y轴分别放在σ1和σ2的方向，于是 有： xy 0， x 1， y 2 （d）
2.3平面问题中一点的应力状态
应力是与作用面有关的。 σx ， σy 和 τxy 作为基本未 知函数，只是表示一点的 x，y坐标面上的应力分量 （图 2-4b）。如同材料力学一样，在校核强度条件 时，我们还需要求出通过此点的任一斜面上的应力。 为此，在 P点附近取一个平面 AB，它平行于上述斜 面，并与经过 P 点而垂直于 x 轴和 y 轴的两个平面划 出一个微小的三角板或三棱柱PAB（z轴方向取为单 位长度1），图2-4。
2
（2-6）
1 2 x y
（2-7）
下面求出主应力方向。设σ1与x轴的夹角为 a1，则： 0
sin 1 cos 90 1 m tan 1 cos 1 cos 1 l1


利用式（a）中的第一式，即得：
1 x tan 1 xy
z 0， xz 0， yz 0
2014-7-9
zx 0， zy 0， yx xy
4
2.1.2平面应变问题
设有很长的柱体，横截面不变。其柱面上受有平行 于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也同样不 沿长度变化而平行于横截面。例如，厚壁圆筒、高 压管道、水坝等，就可看作此类问题。
由式（2-4）及式（d）可得：
n l 2 1 m 2 2
再利用关系
l 2 m2 1
可得：
n l 2 (1 2 ) 2
因为 l 2 的最大值为1而最小值为零，从上式可以看 出σn的最大值为σ1而最小值为σ2，这就是说，两个 主应力也就是最大值与最小值的正应力。 按照式（2-5）及式（d），任意斜面上的切应力为：
7.比较一下几门力学是如何考虑平衡条件的：
理论力学考虑整体（ V ）的平衡，只能用来确定物 体是运动还是静止的状态；材料力学考虑的是有限 部分（ ΔV ）的平衡；而弹性力学考虑的是微分体 （dV）的平衡。我们可以看出：每一个微分体的平 衡，必然保证有限部分和整体的平衡，而反之则不 成立。因此，弹性力学对平衡条件的考虑是严格和 精确的。
y
0
。两个投影方程化简：
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
这就得出了平面问题中应力分量与体力分量之
间的关系式，即平面问题中的平衡微分方程，
又称纳维叶（Navier）方程。
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
……
略去二阶以及二阶以样处理，则得如图所示的应力关系。
泰勒级数是将复杂的函数转换成简单的用多 项式表达的函数，可以直接通过加减乘除得 出函数的值。 f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+f``(x0)(x-
2.再分别计算（px，py）在法向和切向的投影，便 得斜面上的正应力和切应力：
n lpx mpy， n lp y mpx
（2-4） （2-5）
n l 2 x m 2 y 2lm xy
n lm y x l 2 m 2 xy
一般来说，应力分量是坐标x，y的函数，因此，作 用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相 同，差一个微小量。例如，设作用于左面的正应力 是 x ，则作用于右面的正应力由于x坐标的改变， 按泰勒（Taylor）级数展开，将是：
x 1 2 x 2 x dx dx 2 x 2 x
xy m x m ， l xy l y
（a）
于是可得σ的二次方程： 2 0 2 x y x y xy
从而可求得两个主应力为： 根据式（2-6）可以得到：
x y 1 x y 2 2 2 xy
静力学
几何学
物理学
三个方面来考虑，建立基本方程。现在，先 研究平衡关系。
平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体 的平衡条件。当物体处于静止或匀速直线运动时， 作用于整个物体（V），任一有限部分（ΔV）和任 一微分体（dV）上的力都应该是平衡的。现在我们 考虑（不管是应力问题还是应变问题）任一点P（x， y）的微分体 dV = dx· dy· 1，作用于此微分体上有体 力和各面上的应力，如图 2- 3所示。
x0)² /2!+f```(x0)(x-x0)³ /3!+...fn(x0)(xx0)^n/n!+Rn(x) 其中fn(x0) 为f(x)的n阶导函 数在x=x0时的值。Rn(x)是余项
当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。 这样，就有三个平衡方程： 列出力矩方程 M
( xy xy x dx)dy 1
略去微量可得：
xy
yx
这就证明了剪应力互等定理。 再列出投影平衡方程， Fx 0
yx x ( x dx)dy 1 x dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 f x dxdy1 0 x y