西安交通大学现代远程教育考试卷及答案
课 程:复变函数(A )
专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中
期末
一、单项选择题(每题2分,共20分)
1、若函数()z f 在区域D 内解析,则函数()z f 在区域D 内( )
A .在有限个点可导
B .存在任意阶导数
C .在无穷多个点可导
D .存在有限个点不可导
2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=,那么 ()()Re ,0s f z =( )
A .2i π
B .2i π-
C .1
D .-1
3、函数()()()411
++=z z z z f ,在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个,则m=(
)
A .1
B .2
C .3
D .4
4、下列命题正确的是( )
A .i i 2<
B .零的辐角是零
C .仅存在一个数z,使得z z -=1
D .iz z i =1
5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( )
A .()∑∞
=+-02121n n n n z (z <1) B .()∑∞=+-01
221n n n n
z (z <1)
C .()∑∞=++-012121n n n n z (z <1)
D .()∑∞=-0221n n
n n z
(z <1)
6、在下列函数中,()0Re 0==z f s z 的是( )
A .()21z
e z
f z -= B .()z z z z f 1sin -= C .()z z z z f cos sin += D .()z
e z
f z 111--= 7、设a i ≠,C :i z -=1,则()=-⎰dz i a z z C 2cos ( )
A .0
B .
2i e π C .2ie π D .icosi
8、下列函数是解析函数的为( )
A .xyi y x 222--
B .xyi x +2
C .)2()1(222x x y i y x +-+-
D .33iy x +
9、下列命题中,不正确的是( )
A .如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点,那么()()
Re ,0s f z ∞=
B .若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数,则()f z 在D 内解析
C .幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数
D .函数22e i e i
ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()()
2222f z x y x i xy y =--+-在( )处可导。
A .全平面 B .2x =
C .2y =
D .处处不可导
二、判断题(每题2分,共30分;正确:√;错误:×)
1、对任意的z ,()
()2Ln z 2Ln z =.( ) 2、在柯西积分公式中,如果D a ∉,即a 在D 之外,其它条件不变,则积分()=-⎰dz a z z f i C π210,()D z ∈.( )
3、区域()0Im z >是无界的单连通的闭区域。
( )
4、若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点。
( )
5、若(),u x y 与(),v x y 都是调和函数,则()()(),,f z u x y iv x y =+是解析函数。
( )
6、解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+的(),u x y 与(),v x y 互为共轭调和函数。
( )
7、如果()f z 在0z 连续,那么()0f z '存在。
( )
8、解析函数的导函数仍为解析函数。
( )
9、如果()f z 在0z 解析,那么()f z 在0z 连续。
( )
10、解析函数的零点是孤立的。
( )
11、单位脉冲函数()t δ与常数1构成一个傅氏变换对。
( )
12、如果(),u x y ,(),v x y 的偏导数存在,那么()f z u iv =+可导。
( )
13、因为sin 1z ≤,所以在复平面上sin z 有界。
( )
14、在0z 处可导的函数,一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。
( )
15、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。
( )
三、解答题(每题5分,共50分)
1、己知F )()]([ωF t f =,求函数)52(-t f 的傅里叶变换。
2、求拉普拉斯逆变换1L -]5
4[2++s s s . 3、⎰=13z dz z z cos (积分曲线取正向)
4、求幂级数∑∞=-0
2!)1(n n
n z 的和函数,并注明其收敛域。
5、设)]()([)(00ωωδωωδπω+--⋅=i F ,求其像原函数)(t f .
6、求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) 3sin )(z
z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11e )(-=z z z f . 7、应用傅代变换解微分方程:)()()(t t H t H δ=+' +∞<<∞-t
8、请指出指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数z w tan =的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。
9、求以()222
121y x y x v +-=,为虚部的解析函数()z f ,使()00=f . 10、计算积分:
⎰+-C n z z z 10)(d ,其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周,n 为正
整数。
复变函数
一、1B 2B 3C 4B 5B 6C 7B 8B 9A 10A
二、1╳ 2╳ 3╳ 4√ 5√ 6、╳ 7、╳ 8、√ 9、√ 10、╳ 11、╳
12、╳ 13、╳ 14、╳ 15、╳
三、1、
2、
3、解:
4、解:
.
5、解:
6、解:(1)为的可去奇点,
;
(2)为的三阶极点, 为的一阶极点。
,
;
(3)为的本性奇点,
,
.
7、解:∵F=F
∴ F [H(t)]+F[H(t)]=1
∴F[H(t)]=
∵衰减函数 F[f(t)]=
∴H(t)=
8、答:(1)指数函数的解析域为:整个复平面,解析域是无界开区域;(2)对数函数的解析域为:除去原点及负半实轴,解析域是无界开区域;
(3)正切函数的解析域为:除去点,解析域是无界开区域。
9、解:
由得
10解:设的方程为,则
所以:(当时);(当时)。