2 2 1 3 4F 1 2 1 3 D p
Lode应力参数
Tresca屈服条件：
1 3 1 s
1 3 2 2 s 3
1 3 s 1.15 Mises
1.0 -1.0
Mises屈服条件：
2 2 1 3 1 3
平面应力状态
2 12 1 2 2 s2
两种屈服条件的实验验证(1) 1925年Lode曾在软钢、铜和镍的薄壁筒上做过试验， 使薄壁筒受轴向力和内压的作用。
p
F F

z

pD F , z , r 0 t — 壁厚， D — 平均直径 2t Dt 若 z , 则 1 , 2 z , 3 r

s
E
E
② ①

E
④
s
o
③
o s


⑤幂强化力学模型
A n
n—幂强化系数， 介于0与1之间

n=1 n=0.5 n=0
s
o 1
A (n 1) A (n 0)

以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚 塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。 ★ 其它力学模型
等向强化模型，随动强化模型
3-2 广义胡克定律
1678年，R. Hooke发表了固体受力后应力和应变关 系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 对于各向同性材料，根据实验结果可知，在小变形 的情况下，正应力只与线应变有关；剪应力只与剪 x , y , z x , y , z xy , yz , zx xy , yz , zx 应变有关。 y z 1 x [ x ( y z )] x
平面
2
3 0平面 2
o
3
o
1
1
Mises 屈服条件的几何表示： 空间应力状态
平面上的屈服曲线为圆
主应力空间中的屈服曲面为圆柱面 平面应力状态
3 0 平面上的屈服曲线为椭圆
2 j 3 cos30 0 3 cos30 0 ( 1 3 ) x 1
zx
G
G
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex sx 1 2G
1 1 1 ex sx ey s y ez sz 2G 2G 2G xy yz ex e y ez zx 1 s x s y s z 2 xy 2 yz 2 zx 2G
2
如果不知道主应力的大小和次序
1 2 2k , 2 3 2k , 3 1 2k
只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态
Tresca 屈服条件的几何表示： 通过坐标原点 o 的等倾面— 平面 平面上的屈服曲线为正六边形 主应力空间中的屈服曲面为正六边形柱面
E E E E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy yz
xy yz
G G
zx
zx
G
1 2 x y z ( x y z ) E 3 0 3 0
2
2
平面
2
v
3
o
o’
1
o
1
3
3
1
平面应力状态： 3 0
1 2k 2 2k 1 2 2k
3 0平面 2
2k
o
2k 1
k值的确定： 单向拉伸实验 1 s , 2 3 0
k
s
Bauschinger效应 材料按弹性规律进行卸载
s s s
s
s
J.Bauschinger(德国) 发现具有强化性质 的材料随着塑性变 形的增加，屈服极 限在一个方向上提 高，而在相反方向 上降低。
一般认为是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。 Bauschinger效应使材料具有各向异性性质。
A—瞬时截面积
σ—名义应力
真实应变 对数应变
~
l dl li l ln ln(1 ) l0 l l0 i 1 li
n
l—瞬时杆长
ε—名义应变
材料不可压缩
A0l0 Al
弹塑性力学中常用的简化力学模型
对于不同的材料，不同的应用领域，应该采用 不同的变形体模型。 选取力学模型的原则 符合材料的实际情况； 数学表达时足够简单。
j j cos
2 6
x 2 y 2 ( 2 R) 2
( 1 3 ) cos 60 0 (2 2 1 3 ) y 2
2
A
A
2
平面
2
2
v
3
3
y
o
o’
1
o 1 o’
1
3

o
x
1
3
1 1 2 x y ( 1 3 ) (2 2 1 3 ) 2 2 6 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] ( 2 R) 2 3
真实应力和真实应变
塑性变形较大时， σ-ε曲线不能真正 反映加载和变形的 状态。 例如颈缩阶段， σε曲线上试件的应变 增加而应力反而减 小，与实际情况不 符。
颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部 拉应力仍在增加。
Pl P ~ ~ 真实应力 e (1 ) A A0l0
纯剪切实验 1 s , 2 0, 3 s
s 2 s
2 k s
多数材料，近似成立
Tresca 屈服条件的局限性：
需要知道主应力的大小和次序，否则其形式
非常复杂，没有实用价值； 没有考虑中间主应力对屈服条件的影响。
Mises屈服条件
1913年，R. Von Mises (德国) 指出，在等倾面上， Tresca六边形的六个顶点是由实验(拉伸实验)得来的， 但连接这六个点直线却具有假设的性质。
2 2
R值的确定：
s 3 s 多数材料，符合较好
R s 3
单向拉伸实验 1 s , 2 3 0 纯剪切实验 1 s , 2 0, 3 s Mises屈服条件：
R s
2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 空间应力状态 1 2 2 3 3 1 s ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6 s2
T T
z
F
F
z
F 2T z , z , r 0 t — 壁厚， D — 平均直径 2 Dt D t
在应力空间中，屈服条件将表示一个曲面。
（弹性区和塑性区的分界面）
应力点位于曲面内 f<0 应力点位于曲面上 f=0
弹性状态 塑性状态
应力空间：以应力为坐标轴的空间。在应力空间中的每一 点都代表一个应力状态。
Tresca屈服条件
1864年，H. Tresca (法国) 在做了一系列金属挤压实 验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕 纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。 金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的 1 3 k 当 1 2 3 时 max
(1 2 )(1 ) x y z q E (1 )
ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 (1 2 ) 1 2 q, 3 q max 1 3 q 1 2 2(1 )
3-3 Tresca和Mises屈服条件
q z q
解： 铁盒视为刚体
x
x 0, y 0
y
z q
代入空间问题的胡克定律 1 0 [ x ( y q)] E x y q 1 1 0 [ y ( x q)] E 1 (1 2 )(1 ) z [q ( x y )] q E E (1 )
体应变
体应力
1 x [(1 ) x ] E 1 y [(1 ) y ] E 1 z [(1 ) z ] E
xy yz
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz
zx
①理想弹塑性模型
E s
②线性强化弹塑性模型
( s ) 韧性 ( s ) E ( s ) 材料 s E ( s ) ( s )
③理想刚塑性模型
s
④线性强化刚塑性模型
塑性成形阶段， s E 忽略弹性应变
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
第3章 弹性与塑性应力应变关系
概述 广义胡克定律 Tresca和Mises屈服条件 塑性应力应变关系 Drucker公设
3-1 概述
拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）
P 名义应力： A0 l 名义应变： l0
p 线弹性范围 E 轴向拉伸（压缩）
时的胡克定律
需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区， 加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而卸 载过程中则应使用广义胡克定律。 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题 求解更为困难，因而更需要和实验相联系。