2
2
→
由∠PF2Q＝90° → 求出离心率 建立a，b，c的关系
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[精解详析]
设 F1(c,0)，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90° ， 知|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c－2c＝2a. c 2 ∴e＝a＝ ＝1＋ 2. 2 2－2 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
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Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相 离． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双
曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲
线相交，只有一个交点． (2)弦长公式： 斜率为 k 的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，1)， y
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x y [例 3] 已知 F1，F2 是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点， a b PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q＝90° ，求双曲 线的离心率．
[ 思 路 点 拨 ] 设F1c，0，将焦点F1 求出P的纵 → 的横坐标代入方程 坐标及|PF1|
x2 y2 解 (1)法一 设双曲线方程为 － ＝1(mn>0)． m n 2 ∵双曲线过点 P( 6，2)，且点 P 在直线 y＝ x 的上方， 3 ∴m<0，n<0，即焦点在 y 轴上， 2 又渐近线斜率 k＝± ， 3
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6 4 － ＝1， m＝－3， m n ∴ －n 解得 4 2 n＝－3. ＝ ， －m 3 y2 x2 故所求双曲线方程为 － ＝1. 4 3 3 2 法二 由于双曲线的渐近线方程是 y＝± x， 所以可设双曲线方程 3 x2 y2 为 － ＝λ(λ≠0)． 9 4 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6，2)．∴ － ＝λ，λ＝－ . 9 4 3 y2 x2 ∴故所求双曲线方程为 － ＝1. 4 3 3
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名师点睛
1．双曲线几何性质的理解 x2 y2 x2 y2 (1)范围：以 2－ 2＝1(a>0，b>0)为例，由于 2＝1＋ 2≥1，即 a b a b x2≥a2，∴|x|≥a，即双曲线位于 x≤－a 和 x≥a 所表示的区 域内．
(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点，
y2 x2 解 把方程 16x2－9y2＝－144 化为标准方程 2－ 2＝1， 4 3 由此可知，半实轴长 a＝4， 半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝5.
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c 5 焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率 e＝ ＝ ； a 4 顶点坐标为(0，－4)，(0，4)； 4 渐近线方程为 y＝± x. 3
焦距
范围 对称性 性 质 顶点 轴长 离心率 渐近线 |x|≥a，y∈R
|F1F2|＝2c _________ |y|≥a，x∈R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(－a，0)、A2(a，0) ___________________ A1(0，－a)、A2(0，a) ___________________
2a 2b 实轴长＝___，虚轴长＝___ c a e＝___(e＞1)
x y ± ＝0 a b ________
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x y ± ＝0 b a ________
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试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率．
提示 c e＝ ＝ a a2＋b2 ＝ a2 b2 1＋ 2. a
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4 9 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴ 2－ 2＝1. a b 由①②联立，无解． 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y2 x2 a 1 － ＝1(a>0，b>0)，则b＝ . a2 b2 2 9 4 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴ 2－ 2＝1. a b 由③④联立，解得 a2＝8，b2＝32. y 2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 8 32
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自学导引
双曲线的几何性质
x2 y2
标准方程
a
2
－ 2＝1
b
(a＞0，b＞0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a＞0，b＞0)
图形
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续表 焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) ___________________ F1(0，－c)、F2(0，c) ___________________
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线C相交于一点． ②当b2－a2k2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此 时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线 相切；
规律方法
已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要
弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c， 从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确
定a、b、c的值．
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【变式1】 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点 坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．
B(x2 ， y2) ， 则 |AB| ＝ （x1＋x2）2－4x1x2. 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2
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题型一
已知双曲线的标准方程求其几何性质
【例1】 求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、 焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [思路探索] 可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再 求其几何性质．
2 2
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①
② ③
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17 可得 b ＝－ (舍去)． 2 所以双曲线的焦点只能在 x 轴上，其方程为 x2－4y2＝1. y2 即 x2－ ＝1. 1 4 规律方法 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，
2
一般用待定系数法．首先，由已知判断焦点的位置，设出双 曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得．当双 曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分 类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2得．如本题中已知渐近线方程ax＋by
＝0，可设所求双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常简捷．
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【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
13 (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为 ； 5 1 (2)渐近线方程为 y＝± x，且经过点 A(2，－3)． 2
2.3.2 双曲线的简单几何性质
【课标要求】
1．掌握双曲线的简单的几何性质． 2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
3．掌握直线与双曲线的位置关系．
【核心扫描】
1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点) 2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点) 3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学 生分析问题的能力．
审题指导 本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量 知识及方程思想的应用．
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x2 2 [规范解答] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线方程 2－y ＝1(a>0)中 a 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 2分
1－a2≠0， 依题意 4 2 2 Δ＝4a ＋8a （1－a ）>0，
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题型二
根据双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)双曲线的渐近线的方程为 2x± 3y＝0 且经过 P( 6，2)； 5 (2)经过点 P(3，－ 2)，离心率 e＝ . 2
[思路探索] 可设出双曲线的标准方程，依题意建立待定 参数的方程或方程组求解．
y2 x2 解 将方程 x －3y ＋12＝0 化为标准方程 － ＝1， 4 12 ∴a2＝4，b2＝12，
2 2
∴a＝2，b＝2 3，∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4. ∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3. 焦点坐标为 F1(0，－4)，F2(0，4)，顶点坐标为 A1(0，－2)， 3 A2(0，2)，渐近线方程为 y＝± x，离心率 e＝2. 3
②
③ ④
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1 法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝± x， 2 x2 2 可设双曲线方程为 2－y ＝λ(λ≠0)， 2 ∵A(2，－3)在双曲线上， 22 ∴ 2－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 8 32
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(2)若双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 设其方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 5 c2 5 由 e＝ 得， 2＝ 2 a 4 又点 P(3，－ 2)在双曲线上， 9 2 ∴ 2－ 2＝1 a b 又 a2＋b2＝c2， 1 由①②③可得 a ＝1，b ＝ ， 4 若双曲线的焦点在 y 轴上， y2 x2 设其方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b c2 5 2 9 由 2＝ 和 2－ 2＝1 及 a2＋b2＝c2， a 4 a b