《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅{}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则 曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德里格斯定理，如果方向n n dn k dr k =-，其中是沿方向37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交网时测地线的方程为d ds du ds dv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线. 二、单项选择题12其中a 为常向量．3.是一般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定方向成固定角；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C.()k s αβ=-⋅；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球面{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱面{(,)r u v R =在第一基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例9.16.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F=，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''⋅⨯，r r γ='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ b +4求正螺面{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，∴球面上任意点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．228求正螺面}(,,sin ,r u v u v bv 的第一基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ⋅=+．9．计算正螺面{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b⨯=-{sin u v u v b r r n r r b u⨯==⨯+1u u E r r =⋅=，0u v F r r ⋅=，G 0uu r n ⋅=，2uv M uN r =．计算抛物面z x =的高斯曲率和平均曲率． 解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214xx E r r x =⋅=+，4x y F r r xy =⋅=，214y y G r r y =⋅=+，xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，yy N r n =⋅=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋面{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:14.求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =⨯1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代入主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲面2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹方程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ 设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ 由伏雷内公式，得??()r r s =是一般螺线，证明:r Γ． 证明1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线． 证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=k abτ∴=-.5．曲面S 上一条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''∀⨯3r r r '''⨯'，故t ∀有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{cos ,t β=-另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝ 曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线取定点为坐标原点，曲线的方程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平行于固定平面，所以()r r t =是平面曲线13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线根据已知条件，得0.............e α⋅=①，0e α⋅=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=又有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平面曲线设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进而12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝ 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ⨯（1-）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角θcos 0,θ=沿每一条直母线只有一个切平面0()ϕθ+u 为直纹面(0,ϕ所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得 是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.因为20xy M r EG F =⋅=-常数,y =常数构成共轭网．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ⨯=-，{2|1x yx y r r y n r r x ⨯-==⨯++0xx r n =⋅=，2211xy M r n x y =⋅=++221001M y x -=⨯-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球面是全脐的．26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=⋅=，0x yF r r=⋅=，1y yG r r=⋅=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r⨯=⨯，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=⋅=-+⋅20LN M⇒-=，曲面3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺面{}(,)cos,sin,r u v u v u v av=是极小曲面．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a⨯=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-⨯==⨯1u uE r r=⋅=，0u vF r r=⋅=，22v vG r r a u=⋅=+，uuL r n=⋅=，uvM r n=⋅=0vvN r n=⋅=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29.圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v =2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n βα γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，γτβ=-，所以τ。