n k,l=1
因为
∂G ∂ = det(gij ) = i ∂x ∂xj
∂gkl Gkl . ∂xi
Gkl G ,
其中Gkl 是矩阵(gkl )中元素gkl 的代数余子式. 又g kl =
1 ∂G = G ∂xi
n
故
g kl
k,l=1
∂gkl . ∂xi
利用上式计算得
Γk ki
k=1
1 1 ∂gil ∂gkl ∂gki 1 = = g kl ( k பைடு நூலகம் − )= i l 2 2 ∂x 2 ∂x ∂x
故M 的结构方程限制在M 上有 又M 是常曲率，
1 α k β j α α α α i dωi = −ωβ ∧ ωi − ωj ∧ ωi − Kikl ω ∧ ω l = −λβ ωβ ∧ ω i − λα ωj ∧ ωj . 2 2
由上面两式子可得
α (dλα + λβ ωβ ) ∧ ω i = 0, ∀(i, α).
2. 3. 4. 5. 6.
γ α α Ωα β = dωβ + ωγ ∧ ωβ = 0.
即：
α = 0. 由Ricci方程可得 i.e., Rβkl
1 α k R ω ∧ ω l = 0, 2 βkl
β α β (hα ik hil − hik hil ) = 0, i
此题用到了外围空间是常曲率的假设。上式即为：
由于ω i 线性无关， 故有
α dλα + λβ ωβ = 0, ∀α.
由Gauss方程, 当i = j ,
Rijij = Kijij +
α α α α (hα ii hii − hij hij ) = Kijij + α
(λα )2 .
又
d
α
(λα )2 = 2
α
λα dλα = −2
α,β
α λα λβ ωβ = 0.
n
g kl
k,l=1
∂gkl 1 ∂G = . i ∂x 2G ∂xi
从而得到
divX =
i
∂X i 1 ∂G 1 + Xi =√ i i ∂x 2G ∂x G
i
√ ∂ GX i . ∂xi
f 的梯度向量场gradf 局部可以表示成 gradf = g ij ∂f ∂ ∂xi ∂xj ∂ √ ij ∂f ( Gg ). ∂xi ∂xj
《黎曼几何初步》 课后部分习题解答 Page 132. 习题3 ∂ ∂ i = Γi 证明：在局部坐标系{ ∂x 联络形式ωj i }下， kj ∂xk . 并且
∂gjk 1 il ∂glj ∂glk Γi + − ). kj = g ( j k 2 ∂x ∂x ∂xl
对向量场X 分量X i 的共变微分为
即：
为常数， 所以如果Kijij 为常数， 则Rijij 亦为常数。 11. 黎曼几何初步P228 习题12 证明：
α (λ α α β α 0 = ∇⊥ X (H eα ) = dH (X )eα + H ωβ (X )eα .
α )2
⇔
α = 0, ∀α, dH α + H β ωβ
⇔
α k DH α = H,k ω = 0, ∀α
H α H β − H β H α = 0. 10. 黎曼几何初步P228 习题11 证明：由B (X, Y ) = X, Y H 可得 hα ij = δij 1 n hα kk ,
k
令λα =
k
α α j α i hα kk , 则ωi = hij ω = λ ω . 两边外微分可得 α i dωj = dλα ∧ ω i − λα ωj ∧ ωj .
⇔
α = 0, ∀α, k H,k
⇔ (
i
hα ii ),k = 0, ∀α, k hα ii,k = 0, ∀α, k
i
⇔
3
代入公式可得
1 f = div gradf == √ G 1
i,j
黎曼几何初步P133 习题13 证明见2008 年期末考试题第一题。 黎曼几何初步P148 习题7 证明见2008 年期末考试题第四题。 黎曼几何初步P148 习题9 证明见2007 年期末考试题第一题。 黎曼几何初步P149 习题15 证明见2007 年期末考试题第一题。 黎曼几何初步P149 习题16 证明：选取局部正交标架场e1 , e2 , 则Ric(e1 ) = Ric(e2 ) = R1212 .任取单位标架 场e = ae1 + be2 , a2 + b2 = 1.则Ric(e) = Ric(ae1 + be2 ) = a2 R1212 + b2 R1212 = R1212 . 所以Ricci曲率与单位向量e的选取没有关系。故2维黎曼流形都是爱因斯坦流形， 但是数量曲率ρ = R11 + R22 = 2R1212 未必是常数。 7. 黎曼几何初步P192 习题5 证明见2007 年期末考试题第四题。 8. 黎曼几何初步P228 习题8 证明见2007 年期末考试题第五题。 9. 黎曼几何初步P228 习题10 α = 0,则 证明：若法向量场eα 在法丛中平行， 则由习题8知ωβ
i DX i = X,j dxj = (
∂X i j + X k Γi jk )dx . ∂xj
即：
i X,j =
∂X i + X k Γi jk . ∂xj
故向量场X 的散度：
divX =
i i X,i =
∂X i ∂X i k i + X Γ = + X i Γk ik ki . ∂xi ∂xi