第9章真空中的静电场(习题选解) 9-补充三个电量为q 的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷f1Q(Q 0) 放在三角形的重心上。

为使每个-q负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ f2 Q 解：以三角形上顶点所置的电荷( q )-q-q 为例，其余两个负电荷对其作用力的合力题6-1 图为f1，方向如图所示，其大小为f 1 24q2cos 3020 r423qr2中心处Q 对上顶点电荷的作用力为f2，方向与f1相反，如图所示，其大小为f 2Qq 3Qq24 rr4332由f1 f2 ，得 3Q q。

36-补充在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核234Th 的中心为15r 9.0 10 m 。

试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（2）粒子的加速度为多大？解：（1）由反应238 234 492 U 90Th+ 2 He ，可知粒子带两个单位正电荷，即19Q1 2e 3.2 10 CTh 离子带90 个单位正电荷，即19Q2 90e 144 10 C它们距离为15r 9.0 10 m由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：19 19 Q Q 3.2 10144 101 2 9F (9.0 10 ) 512N2 15 24 r (9.0 10 )（2）粒子的质量为：27 27 27m 2(m p m n ) 2 (1.67 10 1.67 10 ) 6.68 10 Kg由牛顿第二定律得：F 512282a7.66 10 m s27m6.68 1069-1 如图所示，有四个电量均为 q 10 C 的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4 点上，点 1 与点 4 距离等于点 1 与点 2 的距离，长1m ，第3 个电荷位于 2、 4 两电荷连线中点。

求作用在第 3 个点电荷 上的力。

解： 由图可知，第 3 个电荷与其它各题 9-1 图电荷等距，均为2 rm 。

各电荷之间均2为斥力，且第 2、4 两电荷对第三电荷的作 用力大小相等，方向相反，两力平衡。

由 库仑定律，作用于电荷 3 的力为题 9-1 图F4 1 0 q q 1 32r131.8 10 2N力的方向沿第 1 电荷指向第 3 电荷，与 x 轴成45 角。

9-2 题略 12q解tan4 2(2l sin ) mg22q 16l mgtan sin 4l sinmgtan99-3 在直角三角形ABC的A点放置点电荷q1 1.810C，B点放置点电荷9q2 4.810C，已知BC0.04m,AC0.03m，试求直角顶点C处的场强 E 。

解：A点电荷在C点产生的场强为E，方向向下11q1E1 1.81024r014V m1B点电荷在C点产生的场强为E2，方向向右1q24 E2 2.710V24r02m1题9-3图根据场强叠加原理，C点场强E224E1E 3.2410V m21设E 与CB夹角为，tanE1E2E21arctan arctan33.7E329-补充如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为d的P点处的电场强度。

解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线题9-补充a图元dx在P点产生的场强为dEdE4d qdxdx 220r2x d224(4(x d)2)场强dE可分解成沿x轴、y轴的分量xdE x dE s i n dE22xdddE y dE c o s dE22xd题9-补充b图E x dE x2dx02232 4x d02()80012222d(x d)1()4d4d00E dEy yd dx d x310222d 4()4()4x d d x d0022220P点场强22E E x E y42 0 dEx方向与Y轴夹角为arctan45Ey9-4 如图所示，一条长为2l的均匀带电直线，所带电量为q，求带电直线延长线上任一点P的场强。

题9-4图解：在坐标原点0为r处取线元，带电量dq dr q2ldr该线元在带电直线延长线上距原点为x的P点产生的场强为题9-4图dEdq40(x r)2整个带电直线在P点的场强qdr q d(x r)q1l lE dE()22l2l(x r)8l l(x r)8l x r4000llq112q l q()22228l x l x l8l(x l)4(x l)0009-5 一根带电细棒长为2l，沿x轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax（ A 为正的常数）。

求x轴上，x b2l处的电场强度。

解：在坐标为x处取线元dx，带电量为dq Axdx，该线元在P点的场强为dE，方向沿x轴正方向dEdq2 40(b2l x)整个带电细棒在P点产生的电场为E dE2lAxdx0240(b2l x)题9-5 4A l2b2lxb20b2l x2ld b2l x4A[2d(b2l x)d(b2l x) 2l2l(b2l)202 02(b2l x)(b2l x)] 2l2lA A(b2l)12ln(b2l x)84(b2l x) 0000A b2l(ln40b2l b)场强E 方向沿x轴正方向9-6 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为R的半圆形。

其上一半均匀带电荷q，另一半均匀带电荷q。

求圆心O处的场强。

题9-6图解：以圆心为原点建立如图所示Oxy坐标，2q 在胶棒带正电部分任取一线元dl，与OA夹角为，线元带电荷量dq dlR，在O点产生电场强度dE4d q2qdl2230R4R22q2Rd把场强dE分解成沿x轴和y轴的分量dE x dE sindE y dE cosq qE dE d2sinx x22220R R2200q qE dE d2cosy y2R22R2题9-6图2200同理，胶棒带负电部分在O点的场强E沿x轴方向的分量E x与E x大小相等，方向相同；沿y轴方向的分量E y与E y大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为qE2E x方向沿x轴正向。

22R 09-7 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d，线电荷密度分别为和，求：两线构成的平面的中垂面上的场强分布；解：在两线构成平面的中垂直面上任取一点P距两线构成平面为y，到两线距离为2()2dy。

两带电直线在P点的场强为2E12 (y0 22d4)12E22 ( y0 22d4)12题9-7 图由于对称性，两线在P点的场强沿y 轴yE1方向的分量，方向相反，大小相等，相PE互抵消E2E E1x E2x E1 cos E2 cos + θθ-λλ+ -o-d/2d/2xd2 22 1 2 1d d2 2 2 22 ( y ) ( y )4 4题9-7 图d2d22 ( y )4方向沿x 轴正方向9-8 求两无限大均匀带电平板的电场分布2 已知：求：分布解：两无限大带电平板产生场强大小分别为E 方向如图红色+22E—方向如图蓝色2太原理工大学大学物理由叠加原理，两极板间场强方向沿x轴正向两板外，左侧方向沿x轴正向两板外，右侧方向沿x轴负向太原理工大学大学物理9-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为R的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r处一点P的场强。

解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘。

距洞心r处P点的场强E E Ep式中E为无限大均匀带电平面在P点产生的场强题9-9图E2方向垂直于平面向外E为半径为R的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r处的P产生的场强。

在圆盘上取半径为r，宽为dr的细圆环，在P点产生场强dErdq2rrdr32222240(r r)4(r r)32RE dE 24rRr02232(r r)dr2r[(r21r2)12]2r(1)22R r方向垂直圆盘向里故rE P E E方向垂直平面向外12220(R r)29-10 用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的空隙为92cm，棒上均匀分布着 3.1210C的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。

解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。

由场强叠加原理，圆心O场强E E E0圆棒AB对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心O的电场强度为零，0E。

圆环题9-10图上一带负电小圆弧棒相对于圆心O可近似看成一个点电荷，电量为：q2qRdlq1qE dlAB224R4R2R008q dl20.7143VRm1圆心处场强1E0E0.714V m，方向指向空隙。

AB9-11 题略解：（1）点电荷在立方体的中心，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为qE d S则通过该立方体任一个面的电通量为q6。

（2）点电荷在立方体的一个顶点上，以该顶点为中心作一边长为2a的立方体，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为qE d S则通过该立方体任一个面的电通量为q 240。

9-补充用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为E（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。

2解：（1）建如图(a)xyz坐标，以板上任一点O为圆心，取半径为r，宽度为dr的环形面积元，带电量为：dq2rdr。

由圆环电荷在其轴线上任一点P(OP x)的场强公式dE42xrdr220(x r)32方向沿x轴正方向。

P点总场强E dEx rdr3 02(22)2r xx112(22)22r x00题9-补充(a)图（0，E 的方向沿x轴正方向）（2）建如图(b)所示的三维坐标，在与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方向单位长度带电荷为dy，由长直带电直线场强公式，线元在x轴距原点O为a的点P的场强1dydE222ya 0题9-补充(b)图由于对称性，dE的y轴分量总和为零所以E dE x dE c o sa dy yarctan22a2222y a y a002200因为0，所以E的方向沿x轴正方向。

9-补充如图所示，半径为R的带电细圆环，线电荷密度0cos，0为常数，为半径R与x轴夹角，求圆环中心O处的电场强度。

解：在带电圆环上任取一线元dl Rd，带电量为dq dl cos Rd0，线元与原点O的连线与x轴夹角为，在O点的场强d E大小为题6-12图d dq R00dE cos d cos224R4R40R00d E 沿x轴和y轴的分量dE x dE cos40cos2RddE y dE sin cos sin4Rd 整个带电圆环在O点的场强E 沿x轴和y轴的分量E x dE x2210200 cos d(sin2)4R4R244R 0000E y dE y222sin00)0sin d sin(4R4R200故0E E i ix4RE 的方向沿x轴负方向。