5
如流体力学在车辆工程中的应用，是关注发 动机、动力舱、乘客室、车身周围的特点空 间区域。
6
7
8
雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
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2-1 质量守恒
质量守恒 为流体流动所应遵循的基本原理 动量定律 （对系统而言） 能量守恒 系统内流体参数的变化
A 1 A 1
v ndA v ndA 0
A2
若ρ、V在进出口区域均匀分布：
2V2 A2 1V1 A1 0
m 1V1 A 1 2V2 A 2
25
m 1V1 A1 2V2 A2 3V3 A3
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3-2 微分形式的连续方程
超声速战斗机发动机喷管 (F15/F16与J10/11)
超音速飞机的喷管都是先收缩再扩张的
2011.3.22: 一 架 美 军 F15 战机在利比亚坠毁。 美国空 军现役的主力战机之一， 1974 年开始装备部队。该机 最大武器载荷11113千克，最 大 速 度 2.5 马 赫 ， 最 大 航 程 4445千米。 F15 与 F16 形 成 高 低 搭 配 ， 造价F16约为2000万美元，外 贸单机价格约为 8000 万美元。 美国空军大约有900架F-15、 2000架F-16。
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控制体内质量变化率
mI (t t ) mII (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mCV (t t ) mCV (t ) lim t 0 t mCV 控制体内的质量变化率 t
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控制体净输出质量流量
t t :
m(t t ) mⅡ(t+Δt)+ mⅢ(t+Δt)
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m(t t ) m(t ) dm lim t dt sys t0 mII (t t ) m III (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mI (t t ) mII (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mIII (t t ) mI (t t ) lim lim t 0 t 0 t t
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由于流场满足连续介质条件，控制体选取 具有任意性，有
v 0 t 定常流动： v 0
不可压流动（定常、非定常） v 0 u v w 0(三维) x y z u v 0(二维) x y 28
• 雷诺于1886年提出轴承的润滑理论，1895年在湍流中引入有 关应力的概念。
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雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
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3-1 输运公式数学表达式
d总物理量 dt sys
单位时间通过控制体 控制体内物理 边界净输运的流体 量的变化率 物理量
单级入轨火箭发动机喷管
作
业
教材习题四：4-1，4-2,4-3，4-4，6-10
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雷诺输运定理

控制体内参数的变化
10
m m t sys t Control
Volume
t : Ⅰ+Ⅱ system : Ⅱ+Ⅲ t t :
CVt CVt t Ⅰ+Ⅱ
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系统内的流体质量： t时刻： m(t)=mI(t)+ mⅡ(t)
控制体净输出的动量流量
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dE 的能量流量 dt sys 能量变化率 的能量流量
控制体内净输出的能量流量
－－上式即为雷诺输运定理（输运公式）
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雷诺输运公式，将系统与控制体联系起来， 成为拉格朗日观点的“系统”过渡到欧拉观 点的“控制体”的桥梁。 跨行业交叉应用：经济、货币流通、石油、 能源、交通……。 以控制体为研究对象时，系统尺度量（与质 量有关的量）来自两个方面： a. 控制体内尺度量随时间的变化。 b. 流体输入输出控制体所引起的尺度变化。
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2.积分形式的连续方程：φ=ρ，
dM N M dV , 质量守恒： 0 dt dN dM dV v ndA 0 dt t CV dt CS
控制体内质量变化率 净输出控制体 的质量流量
积分形式连续方程： t
dV v
2011.3.29: 《环球时报》巴基斯坦与中 国签 13 亿美元歼 10 采购协议。歼 -10 战斗机 是我国自行研制的具有完全自主知识产权的 第三代战斗机。 英国《泰晤士报》网站报道称：“中国 人民解放军空军近日公开了一起军方飞行事 故，专业人士称这起事故凸显了解放军在为 这种战机研发发动机时遇到的问题。分析家 称中国热切希望能为歼10战机装上国产发动 机，不过目前为止还不可能，中国媒体去年 曾说解放军已经研制成功国产 WS-10A“ 太行” 发动机，并开始将其安装到歼10上”。 歼 10 与歼 11 不是高低搭配，但歼 10 为轻 型、歼11为重型战斗机。
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管道流动连续方程的制约：亚声到超声的拉伐尔喷管
m VA C dA dV d 0 A V dA dV 2 ( Ma 1) A V
• 气体在管道流动时，沿流动方向管道截面积 的相对变化率必须与速度和密度的相对变化率 相适应。 • 亚声速气流要加速必须使用收敛形喷管；超 声速气流要加速必须使用扩张形喷管。 • 要让气流从亚声速加速到超声速就必须先通 过一个收敛形喷管，再通过一个扩张形喷管， 这种组合型喷管由瑞典工程师拉伐尔于1889年 发明，称为拉伐尔喷管。
mIII (t t ) : Δt时间内通过控制面输出控制体的流 mI (t t ) :
体质量 Δt时间内通过控制面输入控制体的流 体质量
mIII (t t ) mI (t t ) lim t 0 t t 输出控制体 输入控制体 控制体净输出的质量流量 的质量流量 的质量流量
3.微分形式的连续方程：（教材P113-P116） dV v n dA 0 t CV CS 奥高公式： v ndA v dV
CS CV
v dV 0 t CV
控制体：流场中某一确定的空间区域→欧拉 描述。
特点： 边界（称为控制面）和所包围的空间大小 不随运动而变化。 边界除力的作用、能量交换外，可有质量 交换。
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讨论：
系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会 随时间变化，但与外界无质量交换；不同的时间控 制体将被不同的系统所占据。 站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的 变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度 观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法 的特征。 流体力学研究的问题，往往关注某一确定的区域， 而不是某一确定的流体质点集合总体的运动情况。
对于控制体所包括的流体系统，其质量变化 率为
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dm dt sys 质量变化率 的质量流量 的质量流量
控制体净输出的质量流量
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2-2 动量与能量守恒
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dmv 的动量流量 dt sys 动量变化率 的动量流量
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认识大师：雷诺
• 雷诺（Reynolds ，1842 － 1912 ，爱尔兰）。 英国力学家、物理学家和工程师。1842年8月23 日生于北爱尔兰。 1867 年毕业于剑桥大学王后 学院。 1868 年出任曼彻斯特欧文学院（后改名 为维多利亚大学）的首席工程学教授。 1877 年 当选为皇家学会会员。1888年获皇家勋章。 • 雷诺是一位杰出的实验科学家。于1883年发表了一篇经典性 论文——《决定水流为直线或曲线运动的条件以及在平行水槽 中的阻力定律的探讨》，以实验结果说明水流分为层流与紊流 两种形态，并提出以无量纲数Re（后称为雷诺数）作为判别两 种流态的标准。
: N : 总质量 v N : 总动量
1 v 2 N : 总动能 2
设N
dV
dN dV v ndA dt t CV 21 CS
3-2 积分形式的连续方程
连续性方程——质量守恒定律对流体运动的 一个基本约束。 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介 质的运动必须维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体 质量必等于控制体内因流体密度变化而增加 的质量。
第六讲：
雷诺输运定理及连续方程
雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
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1-1 系统
系统：某一确定流体质点集合的总体→拉格 朗日描述。
特点： 系统边界和所包围的空间大小 ( 体积形状 ) 随运动而变化。 系统边界无质量交换
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1-2 控制体
CV CS
ndA 0
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讨论： C , (CV 不变) v ndA 0 ① 不可压：
CS
② 定常： dV 0 v n dA 0 t CV CS
③ 定常，一端流入，另一端流出Leabharlann 24 v ndA
A2

v ndA
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 速度为v=y2-y-x，试求x方向的速度分量u， 假定x=0时，u=0（P115页例4-8） 解： u v
0 u x y 2y 1 0 x 2 v y -y-x
u (1 2 y ) x C C 0 x 0, u 0 u x 2 xy