Ni FydA
2 比奥固结理论的有限元格式
(Ni x
~x
Ni y
~xy
)dA
Ni Fxds
(
Ni x
~xy
Ni y
~y
)dA
Ni Fyds
Ni FydA
对N1~ N4四 个形函数均 成立，共有 8个等式
矩阵形式
[B]T{}dA [N]T{F}ds [N]T{F}dA
N
i
x
{
}
已知 f, F, g，可以得到：d Dd
[D]
[ D]e
[
D]e
g
A
f
f
T
[D]e
T
[ D]e
g
本构关系研 究，大多是 在找 f, F, g
1 概述 1.3 有限单元法的基本原理
汇总：
本讲义内容
研究
有限单元法
偏微分方程的解法
研究
本构关系
物理关系（方程）
有 限 变 形 研究
x y
xy
x
y
y
Fy
0
其中： h y p 记 h wh
w
h wy p
p wyh
1 概述
1.2 连续性方程
流出水量：Q 体积压缩：V= -V ·dV x
y
y
y
y
dy
x
x
x
x
dx
水的压缩：C= Ss·h ·dV
y
＋ 连续性要求：Q＝ V- C
达西定律
(Kx
2h x 2
Ky
2h) y 2
~x
Ni dxdy x
Ni x
~xdA
Ni~xlds
Ni
~xy dxdy
y
N i y
~xydA
N i~x y mds
Ni
~xy dxdy
x
Ni x
~xydA
Ni~xylds
Ni
~y dxdy
y
Ni y
~ydA
N i~ y mds
2 比奥固结理论的有限元格式
单元内部 残值方程
N
问题，还可以用比奥固结理论计算固结问题
4
NM3dc.21
将NM2dc.2扩展到三维，解决了三维情况下 应力应变、固结计算等问题
5 EFMdam 用无单元法计算二维平面应变问题，无单元
和常规有限元通过界面相耦合
6
NNMMFfWlo2wD.1.1
基于无单元法的渗流计算。主要针对有自由 面的二维渗流问题。可以计算稳定渗流、水
（大变形）理论
几何关系（方程）
大应变： 拉面 小应变大转动：乒乓球压瘪
2 比奥固结理论的有限元格式
2.1 伽辽金方法概述 2.2 以总水头为未知数的比奥固结
理论有限元格式 2.3 以孔压为未知数的比奥固结理
论有限元格式
用伽辽金方法推导，以平面4节点单元为例
2 比奥固结理论的有限元格式 2.1 伽辽金方法概述
加权残值法
2 比奥固结理论的有限元格式2.1 伽辽金方法概述
伽辽金法：权函数取为试函数
n : 单元节点数
设试函数 Q~ n NiUi i 1
Ui : 单元节点未知量， 位移或孔压（水头）
Ni : 形函数（试函数）
取形函数 Ni 为权函数：
内部残 值方程
边界残 值方程
V Ni (FQ~ f )dV V Ni (F n NiUi f )dV 0 i 1
代入微分方程和边界条件，有残值：
RI FQ~ f 0 RB GQ~ g 0
2 比奥固结理论的有限元格式2.1 伽辽金方法概述 消去残值的方程：
内部残值方程 V WI RIdV V WI (FQ~ f )dV 0 边界残值方程 SWBRBdS SWB (GQ~ g)dS 0
S Ni (GQ~ g)dS S Ni (G n NiUi g)dS 0 i 1
2 比奥固结理论的有限元格式
2.2 以总水头为未知数的比奥 固结理论有限元格式
2.2.1 平衡方程的有限元格式 2.2.2 连续方程的有限元格式 2.2.3 增量形式的有限元格式
2 比奥固结理论的有限元格式
x
y
y
Fy
0
符号规定：弹性力 学符号规定。孔压 以拉为正，压为负
以孔压表示的平衡方程：
x xy p 0
x y x
xy
x
y
y
p y
Fy
0
其中： p
1 概述 1.1 平衡方程
以总水头表示的平衡方程：
x xy h 0
x y x
xy
x
y
y
h y
w
Fy
0
x xy 0
[B]T { }dA [B]T {M}hdA {RF }eh
[B]T [D][B]dA{ }e [B]T {M}[N ]dA{h}e {RF }eh
[K ]e{ }e [Kc ]e{h}e {RF }eh
{ } [D]{} [D][B]{}e
4
h Nihi [N ]{h}e i 1
v
t
Ss
h t
0
1 概述 1.2 连续性方程
(Kx
2h x 2
Ky
2h y 2
)
v
t
Ss
h t
0
Ss 0
(Kx
2h x 2
K
y
2h y 2
)
v
t
0
h wh
以总水头表示
1
w
(Kx
2h x2
Ky
2h y 2
)
v
t
0
p wyh
1
w
(Kx
2 p x2
Ky
2 p y 2
)
v
t
0
以孔压表示
i
(
~x
x
~xy )dA
y
0
N
i
(
~xy
x
~y
y
Fy )dA
0
(Ni x
~x
Ni y
~x
y
)dA
Ni (l~x m~xy )ds
(
Ni x
~xy
Ni y
~y
)dA
ห้องสมุดไป่ตู้
Ni (l~xy m~y )ds
Ni FydA
2 比奥固结理论的有限元格式
(
Ni x
~x
Ni y
~xy
)dA
Ni (l~x m~xy )ds
本人程序：
序号 程序名称
功能
1
NMFRS 可用于加筋土数值计算，除了常规方法外，
还可用等效附件应力法计算
2
NM02.2 可用于土石坝、地基等土工结构物平面应变
情况、三维情况的应力应变计算
NM3D.1
3
NM2dc.32
除了具备NM02.2的全部功能外，还可对轴对 称问题进行计算。除了可计算常规应力应变
1 概述 比奥固结方程 平衡方程与连续性方程联立
x xy h 0
x y x
以总水头表示
xy
x
y
y
h y
w
Fy
0
x
xy
p
1
w 0
(Kx
2h x2
Ky
2h y 2
)
v
t
0
x y x
以孔压表示
xy
x
y
y
p y
Fy
0
1
w
(Kx
2 p x2
K
y
2 p y 2
)
v
t
0
若水头为0，退化为一 般的应力应变问题； 若土骨架不变，退化 为渗流控制方程
2.2.1 平衡方程的有限元格式
总应力表示的平衡方程
x xy 0
x y
xy
x
y
y
Fy
0
边界条件 平面4节点4边形单元：
llxxy
m xy m y
Fx Fy
形函数Ni： N1 N2 N3 N4
4
u Niui i 1
2 比奥固结理论的有限元格式
对任一权函数（形函数）Ni ( i =1, 2, 3 4 )
(
Ni x
~xy
Ni y
~y
)dA
Ni (l~xy m~y )ds
Ni FydA
Ni (l~x m~xy Fx )ds 0
Ni (l~xy m~y Fy )ds 0
边界残 值方程
(Ni x
~x
Ni y
~xy
)dA
Ni Fxds
(
Ni x
~xy
Ni y
~y
)dA
Ni Fyds
1 概述 求解比奥固结方程，还需要：
物理方程： D
几何方程：
x
u x
y
v y
边界条件：
力、位移边界
水头、流量边界
xy
u y
v x
1 概述
1.3 有限单元法的基本原理
里兹法： 构造泛函
要求：泛函的驻 值能够满足微分 方程和边界条件
离散化
泛函：函数的函数
变分原理：若由范函的驻值条件=0能够求得
对应连续问题的解，则定义描述和求 解该问题的定理统称为变分原理
参考文献
1 殷宗泽，土工原理与计算，中国水利水电出版社，1996 2 龚晓南，土工计算机分析，中国建筑工业出版社，2000 3 朱百里，沈珠江，计算土力学，上海科学技术出版社，1990 4 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社，