2pd sinq 2

_____
OC
aq
2sin
_____
_____
OBN 2 OC sin(N )
Aq

aq
sin N sin
合振幅的矢量图
Aq

a0
sina a
sin N sin
Iq

a
2 0
(
sina a
)
2
(
sin N sin
)
2
a
pa sinq，
（b）由于多缝间存在干涉，图样和单缝有很 大不同。
（5）相邻狭缝对应
点发出的衍射线间的
光程差和位相差
L d sin q
ab
d
2p d sinq
光栅常数
（6）求光强分布即求N个合成
振动的迭加。
衍射角
q
d sinq
2）利用矢量图解法求光强分布
aq
a0
sina a
,L d sinq
第四章 衍射光栅
§1 多缝夫琅禾费衍射
1．光栅及其种类
1）定义：
具有周期性的空间结构或光学 性能（如折射率、透射率）的 衍射屏统称为光栅。
2）光栅的种类：
透射式光栅、反射式光栅。
平面光栅、凹面光栅。 黑白光栅、正弦光栅。 一维光栅、二维光栅、 三维光栅。
2．实验装置和衍射图样
1）实验装置
L1
G
L
Pq
q
S
P0
q
f'
光栅的夫琅禾费衍射
L1
G
L
Pq
q
S
P0
q
f'
光栅的夫琅禾费衍射
狭缝宽度：a，缝间不透明部分宽度：b
相邻狭缝中心点距离：d a b d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2）多缝夫琅禾费衍射图样
(a)1条缝
(d)5条缝
(b)2条缝
(e)6条缝
(c)3条缝
sinq k
sin(q k

q k
)
N
(k

1 N
)

d
cos q k sin q k cosq k (k

1 N
)

d
qk

sinq k

Nd cos
q
qk
k cosq k (k 1/ N
,中 的半央主角极宽度强：q k
)
d


Nd
讨论：Nd 越大，q 越小，条纹越细锐。
U (P) C U 0 ( x)eikr dx C U 0 ( x j )eikrj dx j

j 1 j
其中 rj L j x j sin q
U j (q ) C U (x j )eikrj dx j ( j ) CeikLj U0 (x j )eikxj sinq dx j ( j )
(f)20条缝
6
衍射图样
N=1
N=2 d=3a
N=3 d=3a
Байду номын сангаас
N=4 d=3a
N=5 d=3a
-2
-1
0
1
2
a /p
归一化强度分布
3）衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有 ( N 1)
条暗纹（极小
6、复振幅的计算 黑白光栅和正弦光栅
设衍射屏具有一维周期性结构，空间周期为d， 将其分割为宽度为d的N个窄条作为衍射单元，
考虑衍射角为q的衍射线，由各单元中心引一
， 条到场点Pq的衍射线，则其光程满足：
L j =L1 ( j 1)L L = d sin q
则由菲涅尔公式得总复振幅为
N
5．单缝衍射因子的作用
令： (sin N )2 sin
为常数
I (sin a )2 a
（1）单缝的调制作用
（2）缺级
a sinq m m 1,2,
，
由d sinq k k 0,1,2,
，
缺级级次： k d
ma
m 1,2,


pd
sinq，I 0

a
2 0
I

I
0
(
sin
a
a
)2 (sin N sin
)2
4．缝间干涉因子的特点
(sina )2：单缝衍射因子 a
(sin N )2：缝间干涉因子 sin
令： (sin a )2
为常数
a
I (sin N )2
sin
1）主极强峰值的位置、强度和数目
（1）位置
由：
dI
d
0
，
d2
d
I
2
0
pd sinq，
得： kp （ k 0, 1. 2, ） 时 sin N 0， sin 0
在d sinq k
的位置出现主极
主极大的位置与缝数N无关
（2）光强：
I N2
（3）主极强存在最大级次
sin q 1 时， k d / ， k 0,1,2,
N
N (q ) eikLj
d /2
u(q ) C U 0 ( x)eikxsinq dx
j 1
d /2
N元干涉因子
单元衍射因子
N
N (q ) eikLj =eikL1 (1 eikL e2ikL e(N 1)ikL ) j 1

1
(k m / N )p
在 d sinq (k m )
N
位置出现
（2）次极强数目
由：m 1,2, , N 1
可知
相邻主极强间有 N 1 个极小值（暗线）
因此，相邻主极强间共有 N 2 个次极强
（3）主极强的半角宽度
由 d sinq (k 1 )
若 d，只出现零级而无其他主极强。
2）极小值位置、次极强的数目和
主极强的半角宽度 （1）极小值位置：sin N 0 ，sin 0 时
N m 'p，m'：整数
(m ' / N )p , (m ' / N ) ：非整数。
m' (k m )
N
N
mk

0 , 1, 2 , 1,2, , N
( N和 2)
个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
3．N缝衍射的振幅和光强分布
1）单缝衍射 （1）单缝衍射的振幅分布和强度分布：
sina aq a0 a
In
(P)

I0
(sina a
)2
a pa sinq
（2）单缝小范围内上下平移时，屏幕上衍 射图样不变。
（3）多缝间的光线存在干涉。 （4）结论 （a）每个单缝单独产生的光强分布完全相同
CeikLj U0 (x)eikxsinq dx ( j )
d /2
=CeikLj U0 (x)eikxsinq dx d /2
N
N
d /2
U (q ) U j (q ) C ( eikLj ) U 0 ( x)eikxsinq dx
j 1
j 1
d /2