1.1 正弦定理和余弦定理知识点归纳： 一.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径） （1）变形公式 ：1.化边为角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；2.化角为边：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3.::sin :sin :sin a b c A B C = 4.三角形的内切圆半径cb a S r ABC++=∆2二.余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bc a c b A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222-+=； ac b c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222-+=. abc b a C 2cos 222-+=变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=B C A C A B cos sin sin 2sin sin sin 222-+= C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=三.三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）-tanC B)+(A tan -cosC, B)+cos(A sinC,=B)+sin(A ==（3）2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 2c o t 2t a nC B A =+ （4）tanA+tanB+tanC= tanA ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔cosA<cosB （6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ）（7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC （8）ma=nb ⇔ msinA=nsinB(9)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.(10)若三角形中三内角成等差数列，三边成等比数列⇔三角形为正三角形（11）余弦定理是勾股定理的推广：判断C ∠为锐角222c b a >+⇔，C ∠为直角222c b a =+⇔， C ∠为钝角222c b a <+⇔．课堂训练 一、选择题1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于……………………....( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为…………..( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于………………………..( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为…..( ) A ．(2，＋∞) ] B ．(-∞，0) C ．(-21，0)D ．(21，＋∞)5． 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° * 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++等于….( )A ．33B ．3392C ．338D ．239二、填空题7．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 8．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．9．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 三、解答题11．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．13．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA b a b a -=+-．14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．同步提升 一、选择题：1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，则∠C 等于 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°3、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4、在△ABC 中，若c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则C 等于 ( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60° 二、填空题：5、已知△ABC 中,A ＝60°,最大边和最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个正实数根,那么BC 边长______．6、△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.7、在△ABC 中，cos A ＝135,sin B ＝53,则cos C 的值为______. 8、在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 22C ，则△ABC 为______.9、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，外接圆半径等于_______． 三、解答题：10、在ABC ∆中，,15,8,2==+=+ac c a B C A 求b 的值。

11、△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且t an t a n 3t a n t3A B AB +=-72c =，又△ABC 的面积为ABC S ∆=. 求：（1）角C ； （2）a +b 的值.12、在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-- 证明：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

1.2 正弦定理和余弦定理课堂训练参考答案 一、选择题D C A D C B 二、填空题7．23或3 8． 22 9． 60°或120° 10． 3 337三、解答题11．解：(1)∵ a ＋b ＝16，∴ b ＝16-a S ＝21ab sin C＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16) (2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．12．解：∵ sin C ∶sin A ＝4∶13∴ c ∶a ＝4∶13 设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b k k由①、②消去2b ，得13k 2-16k ＋3＝0 ③解得k ＝133或k ＝1，∵ k ＝133时b ＜0，故舍去．∴ k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．13．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2t a n2t a n2c o s 2s i n 22c o s 2s i n 2)22s i n ()22s i n ()22s i n ()22s i n (s i ns i n s i ns i n s i n 2s i n 2s i n 2s i n 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B R A R B R A R b a b a -=+-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴14．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A AC a c s i n )s i n (s i n s i n +== ∵ A ≤B∴ 2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵ 正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴ sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴ A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴ a c≥2cos A∵ 2A ≤60° ∴ 0°＜A ≤30°∴ cos A ≥cos30°＝23∴ a c ≥2·23∴ a c≥3∴ 最长边与最短边之比不小于3同步提升参考答案 一、选择题：DDCB二、填空题： 5、57；6、60°；7、6516或－6556；8、等腰三角形；9、3314 三、解答题：10、由B C A 2=+,得180=++C B A ,60=∴B ,3,5,15,8==∴==+c a ac c a 或5,3==c a 1960cos 222=-+=∴ ac b a b 11、（1）由已知：()B tan A tan B tan A tan --=+13 ()6012031=∴=+∴-=-+=+∴C B A Btan A tan B tan A tan B A tan（2）6323232121=∴=⨯⋅⋅=⋅⋅⋅=ab b a C sin b a S又2162272222222⨯⨯-+=⎪⎭⎫⎝⎛∴-+=b a Ccos ab b a c 47322=+∴b a ()2110041212222=+∴>>=++=+∴b a b ,a ab b a b a 又12、证：)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+2222()(sin cos cos sin )()(sin cos cos sin )a b A B A B a b A B A B ∴+-=-+化简整理得B A b B A a cos sin sin cos 22=由正弦定理得B B A A cos sin cos sin =B A =∴或2π=+B A.ABC C a b ∴∆∠=是以直角的三角形或是的等腰三角形。