(9) 0A 0,(1)A A, k0 0;
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
(2)(A B)C A(BC);
(3)A 0 A；
(4) A(A)0;
(5) 1A A;
27
(6) k(lA) (kl)A;
(7) k( A B) kA kB;
(8)(k l)A kA lA;
则称向量 与 相等，记作 .
(2) 加法(addition): 称向量(a1+b1,...,an+bn)
为 与 的和，记作
4
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ).
+
B
O A
(3) 数量乘法(scalar multiplication):
设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与
37
矩阵A,B乘积的行数、列数间的关系是
(s, n)×(n, m)=(s, m)
用图示表示就是
nm
m
s n =s
例设
0 3 4
1
A
1
0
0 1 5
1 3 1
2
0
,
4
B
1 3 1
2 1 2
1
,
计算AB.
1
1
38
解 A (aij )34 , B (bij )43,
C (cij )33 .
2
2
2
ai1Ei1 ai2 Ei2 ai3 Ei3
i 1
i 1
i 1
32
aij Eij .
j1 i1
31
三、矩阵的乘法
引例
设甲、乙、 丙三位同学的高数平时、 期中、期末成绩为矩阵A, 平时、期中、 期末成绩所占比例为矩阵B, 这三位 同学的高数总成绩用矩阵C表示.
80 70 75
丙同学的高数总成绩为
600.3 800.3 900.4 78 33
引例(续)
75
C
80
.
78
还可以利用矩阵的某种运算得到 上述总成绩.
34
定义6
设A=(aij)s×n是一个s×n矩阵， B=(bij)n×m 是一个n×m矩阵, A的列数等于B的行数.
用cij表示A的第i行与B的第j列的对应分量 乘积之和，
第一章 向量与矩阵的基本运算
§1.1 向量与矩阵的定义及运算
定义1 既有大小,又有方向的量称为向量 (vector),又称矢量. n维向量可以用n个数 构成的有序数组来表示. 记作
(a1 ,a2 ,,an )
称为n维行向量； 若记作
2
a1
a2
an
则称为n维列向量.
并称数 ai 为 的第
例:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,
分别称为有理数域,实数域,复数域. 而整数
集Z不是数域. 我们主要用到的是实数域和
复数域.
任意数域中含有1,故含有Z,从而 含有Q. 因此Q是最小的数域.
13
引例1 某商场9月份电视机销售统计表
21寸 29寸 34寸 48寸
长虹 15 40 37 7 康佳 21 30 40 10
A
90
70
80
,
60 80 90
0.3
B
0.3
.
0.4
32
引例(续)
80 70 75
0.3
A
90
60
70 80
80
,
90
B
0.3
,
0.4
解: 甲同学的高数总成绩为
800.3 700.3 750.4 75
乙同学的高数总成绩为
900.3 700.3 800.4 80
注意：不同阶的零矩阵不同.
3. 行矩阵、列矩阵:
只有一行的矩阵 A (a11 , a12 , , a1n )
称为行矩阵A1×n (row matrix);
只有一列 的矩阵
a11
A
a21
an1
称为列矩阵An×1 (column matrix).
19
4. 对角矩阵：除主对角线上元素外， 其它元素都为零的n阶方阵.
6. 数量矩阵：若对角线元素为k (k 为常数),其余元素都为零的n阶矩阵， 称为n阶数量矩阵(scalar matrix)，记 为kE.
k
即
kE
k
k
22
矩阵的线性运算
定义5 设A=(aij)sn 和B=(bij)sn 是(数域P上) 两个sn (同型)矩阵，则
(1) 如果它们对应的元素分别相等，即 aij=bij, (i=1,2,…,s; j=1,2,…,n),
a22 a32
a23 a33
b2 b3
上述问题必须引进一些新的概念,如矩阵.
矩阵是一个非常重要的概念,不仅应用于
线性代数,而且深入数学,物理,计算机等
学科领域中.
15
定义4 数域P中sn个数排成的s行n 列的长方形数表
a11 a12 L a1n
a21
a22
L
a2n
M M M M
as1
as2
L
asn
称为数域P上的sn矩阵(matrix)，aij称 为矩阵A的第i行第j列元素(entry).
16
aij
行下标 列下标
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素 是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的 矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.
s n矩阵A记为Asn 或 A=(aij)sn , 在 不引起混淆时简记为A=(aij).
( i.e. aij=0, i≠j)
1
2
n
记为 diag1,2, ,n,
称为对角矩阵(diagonal matrix).
20
5. 单位矩阵：若对角线元素为1， 其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩 阵(identity matrix),记为En(或In),简记 为E.
1
即E11 Nhomakorabea21
(k1, k2 , , kn ) 是向量组
1 (1,0, ,0),2 (0,1,0, ,0), ,n (0, ,0,1)
的一个线性组合.
证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2, , kn ) (k1,0, ,0) (0, k2,0, ,0) (0, ,0, kn )
称1， 2，L， n为n维向量空间Rn的基本向量组. 11
2 2
4 5
32 3 (1)
33 33
36 3 5
0 5 10
0 1 2
5
15
5
,
C
1
3
1 .
29
例5 设A=(aij)2×3, Eij表示第i行第j列元 素为1，其余元素为0的2×3矩阵 (i=1,2;j=1,2,3),如
0 1 0
E12
0
0
0
,
则A可表示为：
A (a11E11 a12 E12 a13 E13 )
即：
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj
n
aikbkj (i 1,2,L, s; j 1,2,L,m).
k 1
35
称矩阵C=(cij)s×m为矩阵A与B的乘积， 记为 C=AB. 注意：由矩阵乘法的定义
cij ai1b1 j ai 2b2 j L ainbnj
的数乘，记作
伸缩变换
k (ka1, ka2 , , kan ).
5
(4) 分量全为零的向量(0,...,0)称为零向 量，记作0.
(5) 称(－a1, －a2 ,..., －an)为 的负向量，
记作 .
向量的加法以及数与向量的数乘统称 为向量的线性运算.
对任意的n维向量 , , 及任意的数k, l, 向量的线性运算满足以下八条运算规律：
则称A与B相等，记作A=B.
23
(2) 加法：称矩阵
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
(aij
bij )sn