上海市金山区高三上学期期末考试
高三数学试卷 .01
编辑：卢立臻
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号填写清楚．
2．本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．集合{}(,)2A x y y x ==+，{}(,)B x y y x ==-，则A
B =_______________． 2．在261
()x x
+的二项展开式中，常数项是第______项． 3．计算：20101i ()1i
+=-_________（i 为虚数单位）． 4．若3cos 5α=，且(0,)2πα∈，则cos()3
πα+=____________． 5．在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC =____________．
6．若32()1x f x x +=- (1)x ≠，则11()2
f -=____________． 7．已知矩阵3157A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，矩阵2110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算：AB =_______________． 8．设数列{}n a 为等差数列，11a =，公差为1，{}n b 也是等差数列，10b =，公差为2，则123lim n n n
b b b n a →∞+++=⨯____________． 9．某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查，已知该小镇的小学生、初中生、高中生分别有1400人、1600人、800人，按小学生抽取70名作调查，进行分层抽样，则在初中生中的抽样人数应该是____________．
10．连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率是
____________（结果用数值表示）．
11．已知点(3cos ,3sin )P αα，点(1,3)Q ，其中[]0,απ∈，
则PQ 的取值范围是
_________________．
12．下图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数
()y f x =，则其输出结果所表示的分段函数为()f x =_______________________．
13．已知，在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，分别给出下列四个条件：
⑴tan()cos 0A B C -=；
⑵sin()cos()1B C B C +-=；
⑶cos cos a A b B =；
⑷22sin ()cos 0A B C -+=．
若满足条件_____________，则ABC ∆是等腰直角三角形．（只需填写其中一个正确的序号）
14．若()f n 为21n +所表示的数字的各位数字之和，（n 为正整数），例如：因为 2141197+=，19717++=，所以(14)17f =．记1()()f n f n =，[]21()()f n f f n =， …，[]1()()k k f n f f n +=，（k 为正整数），则2010(11)f =_____________．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．已知函数2sin()y x ωϕ=+（其中0ω>）在区间[]0,2π的图像如图所示，那么ω的值等于 （ ）
（A ）1
（B ）2 （C ）12 （D ）13 16．若向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位
向量，且3a b ⋅=，则b = （ ）
（A ）31(,)2 （B ）13(,)2 （C ）133(,)4 （D ）(1,0)
17．下列说法错误的是 （ ）
（A ）若z ∈C ，则1z =的充要条件是1z z =
（B ）若sin icos z θθ=+（其中02π
θ<<），则21()01z z
-<+ （C ）若方程20x bx c ++=的系数不都是实数，则此方程必有虚数根
（D ）复数()()i a b a b -++为纯虚数的充要条件是a 、b ∈R ，且a b =
18．若函数()f x 、()g x 的定义域和值域都是R ，则“()()f x g x <，x ∈R ”成立的充要条件是 （ ）
（A ）存在0x ∈R ，使得00()()f x g x < （B ）有无数多个实数x ，使得()()f x g x <
（C ）对任意x ∈R ，都有1()()2
f x
g x +< （D ）不存在实数x ，使得()f x ≥()g x 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
已知点(1,0)A -，点(1,0)B ，又点(1,)P x y +在x 轴的下方，设a PA PB =⋅，
b AP AB =⋅，
c BP BA =⋅，且0a b c d
=． ⑴求a 、b 、c 关于x 、y 的表达式；
⑵求y 关于x 的函数关系式()y f x =，并求当y 取最小值时P 点的坐标．
20．（本题满分12分）
已知函数4()log (41)x f x =+，()(1)g x k x =-，记()()()F x f x g x =-，且()F x 为
偶函数．
⑴求实常数k 的值；
⑵求证：当m ≤1时，函数(2)y f x =与函数(2)y g x m =+的图像最多只有一个交点．
21．（本题满分16分）
已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，又函数()y f x =在区间[]1,1-上是奇函数，又知()y f x =在区间[]0,1上的图像是线段，在区间[]1,4上的图像是一个二次函数图像的一部分，且在2x =时，函数取得最小值5-．求：
⑴(1)(4)f f +的值；
⑵()y f x =在[]1,4x ∈上的函数解析式；
⑶()y f x =在[]4,9x ∈上的函数解析式．
22．（本题满分18分）
已知等差数列{}n a 满足：1212n a a n -+=，()n *∈N ，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和， 记2()n n f n S S =-．
⑴求n a ；()n *
∈N
⑵比较(1)f n +与()f n 的大小；()n *∈N
⑶如果函数2()log 12()g x x f n =-（其中[],x a b ∈）对于一切大于1的自然数n ，其函数值都小于零，那么a 、b 应满足什么条件？
23．（本题满分20分）
已知函数1()log 1
a
mx f x x -=-在定义域D 上是奇函数，其中0a >且1a ≠． ⑴求出m 的值，并求出定义域D ； ⑵判断()f x 在(1,)+∞上的单调性，并加以证明；
⑶当(,2)x r a ∈-时，()f x 的值的范围恰好为(1,)+∞，求a 及r 的值．。