稳 时
B
B
B
挠
D
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2
l
EI
2
Pcr (0.27El)I2
Pcr (0.25El)I2
Pcr (22lE)I2
长度系数μ 1
0.7
0.5
2
Pcr
2
l
线平衡构形转变为弯曲平衡构 形，扰动除去后，能够恢复到 直线平衡构形，则称原来的直 线平衡构形是稳定的
FP>FPcr :在扰动作用下，直线
平衡构形转变为弯曲平衡构形， 扰动除去后，不能恢复到直线 平衡构形，则称原来的直线平 衡构形是不稳定的。
§9.2 §9.3 不同支座条件下细长压杆的临界压力
Pcr
解: 查表N020a: A =3.55×10-3 m2, i=21.2mm
强度方面:
P A
400 103 3.55 10 2
113MPa＜[]
稳定方面: 欧拉公式：
l
i
1.0 3 21.2 103
142
cr
2E 2
2 200 109
1422
98MPa
＜113MPa
压杆失稳破坏
例题3：图示托架,承受荷载F =10KN, 杆的外径D=
= 0.5
[例2] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2 EI L22
y
=0.7，
I
z
bh3 12
,
Pcrz
2EI
(0.7L1
z
)
2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
50mm, 内径d=40mm, 两端为铰支, 材料为A3钢,E=
200GPa,若稳定安全系数[n]st=3,问:AB杆是否稳定。
C
1.5 300
0.5 F 解:(1)受力分析 M C 0
B D N AB 0.75 10 2
A i
N AB 26.6 KN
(2)稳定分析: l
I A
4 (D4 d 4) 64 (D2 d 2 )
i
i I A
—截面的惯性半径
cr
FPcr A
π 2EI
(l)2 A
π2E 2
—欧拉公式的 p 另一种形式
：
P
细
长
杆
（
大
柔
度
杆
）
——欧拉公式只适用于细长杆。
细长杆—发生弹性屈曲 (p)
中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p)
粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服 (< s)
临 界 应 力 计
细长杆：
Pcr
2Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76.8kN
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力
cr
2E 2
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
{ l 杆长
约束条件
i 截面形状尺寸
集中反映了杆长、
约束条件、截面形状尺寸
对 cr 的影响。
2、欧拉公式适用范围
临界压力: Fcr
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
临界压力 — 能够保持压杆在微小 弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
弯矩 M Fw
令
挠曲线近似微分方程
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件：
若 则
所以
（与假设矛盾）
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
w
得
n=0,1,2…
当
时，临界压力
解: (1)计算
[例4 ] 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两
端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物
线公式求临界压力和稳定安全系数nst。
z
解：一个角钢：
y
A18.367cm2, I y123.63cm4
两根角钢图示组合之后 I yI z
Imin I y 2I y1223.6347.26cm4
nst
cr
n
st
nst
169 37.7
4.4
nst
3
AB杆稳定
例题4: 一钢管柱,上端铰支,下端固定.外径D=7.6cm, 内径d=6.4cm, 杆长L=2.5m, 材料为合金钢, P=540 MPa, E=215GPa, 如承受压力P =150KN, [n]st = 3.5 试:校核钢管的稳定性。
i Imin 47.26 1.68cm A 28.367
l
i
11.560889.3c
123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
cr
s
[1
0.43(
c
)2]
235[1 0.43(89.3)2 ] 181.7MPa 123
Pcr A cr 28.367104181.7106304kN
安全系数
nst
（欧拉公式）
挠曲线方程 w Asin x
l
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
min ----欧拉公式
（1）临界压力与轴向压力大小无关。（2）注意 I 的取值，取最小值※
1、欧拉公式适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 方向与轴线重合，材料均匀）
•线弹性，小变形
2、 Fcr
1 l2
杆越长，Fcr越小，易失稳
2 EI min （l）2
欧拉公式 等效长度
＝1.0 ＝2.0
＝0.7 ＝0.5
9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
材料和直径 均相同
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截
面上的平均应力。
cr
Pcr A
（l2）E2IA
（2）柔度： 影响压杆承载能力的综合指标。
定义： l —柔度（长细比）
P x0,yy0;xL,yy0
L
c
M P
,d
0
cos kl =1；
sin kl =0
kL 2n 并 kL n
n=0，1，2……..
kL2n n=0，1，2……..
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为： p k 2EI
4 2EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
当
cr
2E 2
p
即
2E p
令 1
2E p
1
欧拉公式只适用于大柔度压杆
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 3、中小柔度杆临界应力计算
当 s cr p 即 2 1 (中柔度杆)
经验公式
（直线公式）
cr s
cr a b
a、b — 材料常数
as
b
令
2
a
s
b
2 (小柔度杆) cr s
F
§9.1 压杆稳定的概念
压力小于临界力 压力大于临界力 压力等于临界力
§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力
压杆的稳定性试验
压杆丧失直线 状态的平衡，过渡到 曲线状态的平衡。称 为丧失稳定，简称失 稳，也称为屈曲
§9.1 压杆稳定的概念
临界状态
稳 定过 平 衡
对应的 压力
不 稳 度定 平 衡
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度 l μ四种取值情况，i I
i
A
•临界柔度 1
2E P
P — 比例极限
2
a
b
s
s — 屈服极限
•临界应力
1 (大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
2 (小柔度杆) cr s 强度问题
1 4
i
D2 d 2 16
16
11.5 cos 30
108
＞ P ≈100 大柔度杆
108 ＞ P≈100 大柔度杆
F
cr
2E 2
C
300 B D 2 200 109 169MPa
1082
A
工作
P A
26.6 103 4
(502 402 ) 106
37.7MPa
稳定条件:
EI
2
1
[例1 ] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临
界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
c
cos
kx
d
P
sin
kx
M
P
y d cos kx c sin kx
M0 P
M0 边界条件为:
cr
2E 2
p
中长杆：cr＝ a - b (铸铁、铝合金木材)
Q235钢： cr (235 0.00682 )MPa P 132
算 16Mn钢： cr (343 0.001612 )MPa P 109
粗短杆： cr＝ s (b)