n n −1 特征方程 a nγ + a n −1γ + L + aγ + a0 = 0 γ 1 , γ 2 ,L , γ n 特征根
（1）单根 n k k k y zi ( k ) = A1γ 1 + A2γ 2 + L + Anγ n = ∑ Aiγ ik 式中待定系统由初始值 y zi (0), y zi (1), y zi ( 2),L , y zi ( n − 1) 确定 A1 + A2 + L + An = y zi (0) A1γ 1 + A2γ 2 + L + Anγ n = y zi (1)
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5.4 离散时间系统的零输入响应(2)
法二：一般方法 y zi ( k + 1) − ay zi ( k ) = 0 特征方程 γ − a = 0 γ =a 特征根
y zi ( k ) = Aγ k = Aa k
0 若已知 y zi (0) ， 则有 y zi (0) = Aa = A
= bm x ( k − m ) + bm −1 x( k − m + 1) + L + b1 x( k − 1) + b0 x ( k )
或
10
∑ a y( k − i ) = ∑ b x( k − j )
i =0 i j =0 j
n
m
m≤n
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5.2离散时间系统的数学模型—差分方程(2)
f 如： ( k ) = {1, − 2,3,0,4}
k=0的位置，即f(0)=-2
函数式
f 如： ( k ) = ( −1) k ( k + 1)U ( k )
f (k )
图形
如
−2
2 1 −1 −2 1
0 1
2 2
3 k
4
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5.1.2 常见离散时间信号
单位函数δ (k )
⎧1 k = 0 δ (k ) = ⎨ ⎩0 k ≠ 0
δ (k )
1 0
U (k )
k
单位阶跃序列 U (k )
⎧1 k ≥ 0 U (k ) = ⎨ ⎩0 k < 0
1 0
1 1 2
1 3
1ห้องสมุดไป่ตู้
L
k
单边指数序列
f ( k ) = a kU (k )
f ( k ) = a k U ( k ) (0 < a < 1) 1
y( k ) = b1q( k + 1) + b0 q( k )
b1
x (k)
∑
D -a1 -a0
D
b0
∑
y(k)
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5.4 离散时间系统的零输入响应(1)
一阶差分方程
y zi ( k + 1) − ay zi ( k ) = 0
法一：递推法（迭代法）
∆f ( k ) = ∇f ( k + 1)
8
∇f ( k ) = ∆f ( k − 1)
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5.1.3 离散时间信号的基本运算(4)
序列 f (k ) 的二阶前向差分 ∆2 f ( k ) = ∆[∆f ( k )] = f ( k + 2) − 2 f ( k + 1) + f ( k ) 序列 f (k ) 的二阶后向差分 ∇ 2 f ( k ) = ∇[∇f ( k )] = f ( k ) − 2 f ( k − 1) + f ( k − 2)
例： U ( k ) = ? ∇U ( k ) = ? ∆ ∆ 解： U ( k ) = U ( k + 1) − U ( k ) = δ ( k + 1) ∇U ( k ) = U ( k ) − U ( k − 1) = δ ( k ) 例：sgn( k ) = U ( k ) − U ( − k ) ∇ sgn( k ) = ? ∆ sgn( k ) = ? 解：∇ sgn( k ) = ∇U ( k ) − ∇U ( − k ) = δ ( k ) + δ ( k − 1) ∆ sgn( k ) = ∆U ( k ) − ∆U ( − k ) = δ ( k + 1) + δ ( k )
2 k U ( k − 2)
δ ( k − 2) ⋅ 2 k U ( k + 2) = ? 4δ ( k − 2)
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5.1.3 离散时间信号的基本运算(3)
序列差分
∆f ( k ) = f ( k + 1) − f ( k ) 序列 f (k ) 的一阶前向差分 ∇f ( k ) = f ( k ) − f ( k − 1) 序列 f (k ) 的一阶后向差分
解： U ( k ) = δ ( k ) + δ ( k − 1) + δ ( k − 2) + L = ∑ δ ( k − m )
m =0
U 解： ( k + 2) − U ( k − 1) = δ ( k + 2) + δ ( k + 1) + δ ( k )
例：2 k U ( k )U ( k − 2) = ?
难于得到 y zi (k ) 的一般表达式
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5.4 离散时间系统的零输入响应(4)
法二：一般方法 a n y zi ( k + n) + a n −1 y zi ( k + n − 1) + L + a1 y zi (1) + a0 y zi (0) = 0
差分方程的建立
例：一质点沿水平方向作直线运动，它在某一秒内所走的距离 等于前一秒内所走距离的2倍，试列出描述该质点行程的方程。 解： y(k )表示质点在第 k 秒末的行程，则依题意有 设 y( k + 2) − y( k + 1) = 2[ y( k + 1) − y( k )] 即 y( k + 2) − 3 y( k + 1) + 2 y( k ) = 0 例：试建立描述如图所示系统的差分方程。 解： RCy′( t ) + y( t ) = x ( t )
y zi ( k + 1) = ay zi ( k ) k=0 k =1
M
y zi (1) = ay zi (0) y zi ( 2) = ay zi (1) = a 2 y zi (0) y zi ( n) = a n y zi (0)
k=n
y zi ( k ) = a k y zi (0)
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因此
y zi ( k ) = y zi (0)a k
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2004年12月24日8时49分
5.4 离散时间系统的零输入响应(3)
n阶差分方程
a n y zi ( k + n) + a n −1 y zi ( k + n − 1) + L + a1 y zi (1) + a0 y zi (0) = 0
∑ x (k)
D -3 -2
D y(k)
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2004年12月24日8时49分
5.3 离散时间系统的模拟(3)
y( k + 2) + a1 y( k + 1) + a0 y( k ) = b1 x( k + 1) + b0 x ( k )
引入q(k) q( k + 2) + a1q( k + 1) + a0 q( k ) = x( k )
试求 y1 ( k ) = f1 ( k ) + f 2 ( k ) 和 y2 ( k ) = f1 ( k ) f 2 ( k ) 解：
⎧ 2k k < −1 ⎪ y1 (k ) = ⎨ 7.5 k = −1 ⎪2 − k + k + 7 k ≥ 0 ⎩
6
序列相乘
0 k < −1 ⎧ ⎪ y2 (k ) = ⎨ 3.5 k = −1 ⎪k ⋅ 2−k + 2−k +1 + 5k + 10 k ≥ 0 ⎩
L
0 1 2 3
4
k
5
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2004年12月24日8时49分
5.1.3 离散时间信号的基本运算(1)
序列相加
f ( k ) = f1 ( k ) + f 2 ( k ) 两序列同序号的数值逐项对应相加 f ( k ) = f1 ( k ) f 2 ( k ) 两序列同序号的数值逐项对应相乘 ⎧ 2k k<0 k < −1 ⎧ 0 例：已知序列 f1 ( k ) = ⎨ − k ， f 2 (k ) = ⎨ ⎩k + 2 k ≥ 0 ⎩ 2 + 5 k ≥ −1
信号与系统 (Signal & system)
教师：徐昌彪 xucb@
2004-12-24
电路基础教学部
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第五章 离散时间系统与Z变换分析法
5.1 离散时间信号 5.2 离散时间系统的数学模型—差分方程 5.3 离散时间系统的模拟 5.4 离散时间系统的零输入响应 5.5 离散时间系统的零状态响应 5.6 Z变换 5.7 Z反变换 5.8 Z变换的性质，ZT与LT的关系 5.9 离散时间系统的Z变换分析法 5.10 离散系统函数，离散系统稳定性判别 5.11 离散系统的频率响应特性